§ 5. Задача об обтекании шара

Пользуясь обобщёнными уравнениями Стокса (2.1), рассмотрим обтекание безграничным потоком вязкой несжимаемой жидкости неподвижного шара с радиусом а (рис. 65). Движение жидкости предполагаем осесимметричным. Вводя сферические координаты R и О, на основании рис. 65 будем иметь:

Подставляя выражения (2.23) в (5.1), получим компоненты вектора скорости в сферических координатах в виде

Рис. 65.

Так как единичный вектор нормали направлен по радиусу шара, а единичный вектор касательной направлен перпендикулярно к этому радиусу, то, проектируя подинтегральное выражение (2.22) на ось х, получим:

Таким образом, проекция на ось х главного вектора воздействия вязкой несжимаемой жидкости на неподвижный шар будет представляться в виде

Граничные условия на поверхности шара и на бесконечности будут следующие:

Полагая

мы можем удовлетворить условиям (5.4) на бесконечности, если потребуем, чтобы ул и производные и обращались на бесконечности в нуль:

Обратимся теперь к вопросу о построении решений дифференциальных уравнений (2.4) и (2.10).

Основное решение уравнения Лапласа (2.4), представляющее потенциал скоростей источника в начале координат, имеет вид

Дифференцируя это решение последовательно по х, получим новые частные решения

представляющие собой потенциалы скоростей диполей разных порядков, оси которых ориентированы вдоль оси симметрии потока. Умножая частные решения (5.7) и (5.8) на произвольные постоянные и складывая, получим следующее выражение для функции :

Будем иметь:

Полиномы Лежандра, как известно, определяются равенством

Полагая в последовательно

получим:

Сопоставляя выражения числителей правых частей (5.10) с правыми частями (5.12) полиномов Лежандра, мы получаем следующую формулу:

Таким образом, подставляя (5.13) в (5.9), получим:

Полиномы Лежандра обладают свойством ортогональности в интервале т. е.

Так как

то из условия ортогональности (5.15) следует, что для всякого , отличного от нуля, имеет место равенство

Обратимся теперь к формуле (5.3) для проекции на ось х силы воздействия вязкой жидкости на неподвижный шар. Так как элемент поверхности шара на основании рис. 65 будет равен

то после интегрирования в правой части формулы (5.3) по углу а и использования равенства (5.14) получим:

На основании равенства (5.16) все слагаемые в правой части (5.17) будут обращаться в нуль, кроме слагаемого, для которого Таким образом, сила воздействия вязкой несжимаемой жидкостй на неподвижный шар равна

Следовательно, для определения силы сопротивления жидкости движению шара необходимо найти лишь коэффициент первого слагаемого ряда (5.14), пропорциональный мощности источника (5.7).

Обращаясь к дифференциальному уравнению (2.10), заметим, что при подстановке

оно переходит, как это было показано в § 2, в уравнение

Найдём вначале основное решение этого уравнения, зависящее только от сферического радиуса R. Полагая

будем иметь:

а уравнение (5.19) примет вид

или

Следовательно, решение уравнения (5.19), зависящее только от сферического радиуса, имеет вид

Для удовлетворения условий (5.6) на бесконечности необходимо потребовать, чтобы

Таким образом, основное решение, представляющее функцию источника в начале координат для дифференциального уравнения (5.19), будет иметь вид

Дифференцируя основное решение (5.20) по переменному х, получим новые частные решения уравнения (5.19), представляющие собой диполи различных порядков этого уравнения

Умножая частные решения (5.20) и (5.21) на множитель и постоянные коэффициенты и суммируя, получим то общее решение уравнения (2.10), которое отвечает осесимметричному движению жидкости:

Так как

то первые слагаемые ряда для функции у имеют вид

Пользуясь общими выражениями (5.14) для о и (5.23) для у, можно, найти по формулам (5.2) компоненты скоростей частиц жидкости. Эти выражения для скоростей окажутся весьма сложными, и точное удовлетворение граничных условий (5.4) прилипания потребует длительных вычислений. Поэтому мы прибегнем к приближённому способу удовлетворения этих условий.

Так как

то малым значениям числа Рейнольдса будут отвечать малые значения параметра k. Каждый член ряда (5.22) будет иметь слагаемое

которое при малом значении k имеет порядок единицы. Поскольку вся сумма ряда (5.22) должна иметь ограниченное значение, то

естественно предположить, что коэффициенты с возрастанием индекса убывают пропорционально степени малого параметра k. Примем, что первые три коэффициента имеют следующие порядки величин:

Учитывая эти порядки, а также разложение

и сохраняя в правой части (5.23) величины, имеющие порядок не выше второй степени относительно k, получим:

Так как в выражения скоростей (5.2) параметр k входит в знаменатель, то в числе слагаемых, происходящих от у, будут слагаемые, имеющие порядок величины На границе шара компоненты скоростей должны обращаться в нуль. Следовательно, в числе слагаемых, происходящих от функции , должны быть слагаемые, имеющие тот же порядок величины На этом основании мы можем положить, что первые коэффициенты ряда (5.14) имеют порядки

Сохраняя в ряде (5.14) три первых члена и вычисляя по формулам (5.2) компоненты скоростей лишь с точностью до значения k в первой степени, найдём:

Для удовлетворения граничным условиям прилипания (5.4) положим в правых частях (5.27):

Собирая в первом равенстве коэффициенты при функциях и свободные члены, во втором — коэффициенты при получим следующие уравнения:

Из второго и четвёртого равенств (5.28) найдём:

Исключая из третьего и пятого уравнений, получим:

Подставляя значение из (5.29), имеем:

При подстановке значений в (5.28) будем иметь:

Таким образом, при принятой нами степени приближения будут определяться только четыре постоянные а постоянные будут определяться лишь в своей линейной комбинации.

Подставляя найденное значение из (5.31) в формулу (5.18) для результирующей силы воздействия жидкости на шар и вводя число Рейнольдса, получим:

Считая число Рейнольдса заведомо меньше единицы, производя разложение в правой части (5.32) и ограничиваясь слагаемыми, содержащими R лишь в первой степени, будем иметь:

Таким образом, частичный учёт квадратичных членов инерции по Озеену вносит в формулу Стокса для сопротивления шара поправку, относительная величина которой в первом приближении пропорциональна первой степени числа Рейнольдса. Формула для сопротивления шара становится двучленной; первое слагаемое будет содержать скорость в первой степени, а второе — во второй степени.

Дальнейшее уточнение формулы сопротивления для шара, получаемой на основе использования уравнений Озеена, было произведено Гольдштейном. Сделанное им сравнение результатов расчёта сопротивления шара по формуле (5.33) и по уточнённой формуле Гольдштейна с соответственными экспериментальными результатами показало удовлетворительное согласование до числа Рейнольдса, равного четырём. При числе Рейнольдса, равном четырём, относительное отклонение расчётного результата по формуле (5.33) от экспериментального достигает 15%, а по формуле Гольдштейна 7%.

Сохраняя в правых частях (5.29) и (5.30) лишь слагаемые, содержащие параметр к в первой степени, а в выражениях (5.31) - слагаемые порядка единицы, получим следующие приближённые значения четырёх постояннных:

Сопоставляя порядки полученных величин правых частей (5.34) с предположенными порядками величин первых коэффициентов (5.24) и (5.26), мы убеждаемся в том, что принятые допущения о порядке величин коэффициентов полностью оправдались.

Пользуясь равенствами (5.14) и (5.25), составим выражение для компонент скоростей и при этом будем пренебрегать слагаемыми, содержащими параметр k в первой степени и выше:

Для точек вблизи поверхности сферы произведение будет малой величиной. Подставляя значения коэффициентов (5.34) и сохраняя в правых частях (5.35) лишь члены порядка единицы, будем иметь:

Сравнивая полученные выражения (5.36) с формулами (7.20) главы V для скоростей, полученными при решении дифференциальных уравнений Стокса для задачи обтекания шара, мы видим полное их совпадение (различие в знаке объясняется различием направлений скоростей потока на бесконечности). Следовательно, частичный учёт квадратичных членов инерции по Озеену не вносит существенных изменений в тот характер течения вблизи поверхности неподвижного тела, который может быть получен при полном пренебрежении квадратичными членами инерции из уравнений движения. Однако это заключение будет верным только в том случае, если в выражениях скоростей мы будем ограничиваться слагаемыми, не содержащими вообще числа Рейнольдса. При таком предположении и правая часть формулы (5.33) для сопротивления шара будет совпадать с правой частью формулы Стокса. При сохранении же слагаемых, содержащих число Рейнольдса, будет проявляться уже некоторое различие в характерах течений вблизи поверхности обтекаемого тела.

Совершенно иначе будет обстоять дело на расстояниях, достаточно далёких от поверхности шара. Если мы обратим движение, т. е. наложим на жидкость и шар поступательное движение со скоростью, равной скорости шара, в обратном направлении и сохраним в выражениях (5.34) для лишь первые слагаемые, а в правых частях (5.35) лишь слагаемые, содержащие то получим:

На далёких расстояниях впереди шара, где угол имеет значения, близкие к , а произведение имеет весьма большие значения, можно пренебречь множителем с показательной функцией. Тогда из (5.37) получим:

Рис. 66.

Таким образом, течение впереди шара на далёких от него расстояниях по своему характеру будет радиальным (рис. 66), происходящим от источника в центре сферы с мощностью

Для узкой области позади шара, в которой угол близок к нулю, а значение достаточно велико, можно положить:

При таких предположениях из (5.37) будем иметь:

На основании (5.41) заключаем, что на далёких расстояниях в узкой области позади шара частицы жидкости движутся радиально, но в направлении вслед за движением шара. При этом величина скорости убывает обратно пропорционально первой степени расстояния от центра шара, тогда как для частиц впереди шара она убывает быстрее, а именно обратно пропорционально квадрату расстояния от центра шара. Таким образом, позади шара скорости частиц с увеличением расстояния от шара медленнее стремится к нулю, чем впереди шара. Такое же заключение можно установить и по отношению к вихрям.

Компоненты вихря из (2.13) будут представляться в виде

Подставляя в правые части вместо х первое слагаемое (5.23), содержащее , т. е.

получим:

Впереди шара для больших значений показателя

будем иметь:

Таким образом, впереди шара интенсивность вихрей с увеличением расстояния от центра шара резко убывает, и поэтому движение жидкости впереди шара на далёких расстояниях можно считать потенциальным. Так как правая часть (5.43) обращается в нуль при , то в промежутке между этими значениями интенсивность вихря будет иметь максимальное значение. Имеем:

следовательно, поверхность с максимальной завихрённостью частиц будет представляться уравнением

Полагая в правой части (5.43)

получим следующее выражение максимальной завихрённости на далёких расстояниях позади шара:

Таким образом, интенсивность вихря на поверхности «хвостовой» части потока позади шара с увеличением расстояния от центра шара затухает обратно пропорционально - лишь полуторной степени этого расстояния, тогда как впереди шара интенсивность йихря убывает по закону показательной функции (5.44).

Сопоставляя результаты, которые были получены при решении задачи об обтекании шара на основании приближённых уравнений Стокса в § 7 главы V и на основании приближённых уравнений Озеена, мы должны придти к следующим заключениям. При полном отбрасывании квадратичных членов инерции получаемая картина обтекания неподвижного тела в малой степени согласуется с реально наблюдаемым течением, особенно в отношении характера потока позади тела. При частичном же учёте квадратичных членов инерции получается картина течения, которая с качественной стороны в отношении различий характера потока впереди и сзади тела удовлетворительно согласуется с картиной действительного обтекания потоком жидкости этого тела.

Заканчивая рассмотрение примеров использования приближённого метода Озеена, заметим, что с помощью предложенных им уравнений им самим и его учениками развита так называемая теория исчезающей вязкости. На основании дифференциальных уравнений с частичным учётом квадратичных членов инерции Озееном построено решение задачи об обтекании выпуклого тела безграничным потоком в интегральном виде. Устремляя в этом решении коэффициент вязкости к нулю, Озеен получил течение идеальной жидкости с наличием разрыва впереди и сзади тела. Этот результат послужил основанием к постановке новой гидродинамической задачи об обтекании тела идеальной жидкостью с разрывными граничными условиями.