§ 11. Вращение безграничной плоскости

В предшествующем параграфе данной главы рассматривались такие случаи движений, для которых дифференциальные уравнения установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости решались точно благодаря упрощающим предположениям о характере траекторий частиц жидкости. Но к использованию полных дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости можно подойти и с другой стороны, а именно делать заранее предположения не о характере траекторий частиц, а о характере тех функций, через которые представляются проекции вектора скорости и давление. Этим путём при удачном выборе характера функций для скоростей и давлений можно в отдельных случаях от системы дифференциальных уравнений с частными производными перейти к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которые можно решить, по крайней мере, численным способом.

В качестве примера применения этого метода рассмотрим случай вращения безграничной плоскости, впервые исследованный в работе Кармана.

Если, помимо предположений о несжимаемости жидкости, об установившемся характере движения и о возможности пренебрегать действием массовых сил, допустить ещё, что распределение скоростей и давления не зависит от полярного угла , то дифференциальные уравнения (7.1) примут вид

Следуя Карману, примем для скоростей и давления следующие выражения:

При этих предположениях дифференциальные уравнения (11.1) принимают следующий вид:

Таким образом благодаря предположениям (11.2) дифференциальные уравнения (11.1) с частными производными оказались преобразованными в систему (11.3) четырёх нелинейных обыкновенных уравнений второго порядка.

Дальнейшее рассмотрение уравнений (11.3) проведём применительно уже к конкретной задаче вращения безграничной плоскости вокруг оси z с постоянной угловой скоростью в жидкости, расположенной только по одну сторону от плоскости (рис. 41). Примем, что частицы жидкости прилипают к вращающейся стенке, т. е.

а на бесконечности лишь две скорости и v обращаются в нуль, так как радиальное растекание жидкости по плоскости возможно, только если считать v. на бесконечности отличной от нуля:

Учитывая предположения (11.2) и сформулированные граничные условия, будем иметь для искомых функций следующие граничные условия:

Рис. 41.

Дифференциальные уравнения (11.3) при граничных условиях (11.4) можно решать с помощью разложений искомых функций вблизи начала координат и их асимптотических разложений вблизи бесконечно удаленной точки Входящие в эти разложения коэффициенты должны быть определены не только из граничных условий, но и из требований непрерывности самих функций F, G и Н и первых производных Так как это решение является громоздким, то мы рассмотрим лишь приближённое решение этих уравнений в том случае, когда граничное условие на бесконечности заменено условием на конечном расстоянии от плоскости. Примем, что на некотором неизвестном расстоянии 3 от плоскости две скорости обращаются в нуль и обращается в нуль первая производная по z. Иначе говоря, второе граничное условие (11.4) заменим следующим:

Нелинейные слагаемые в первых двух дифференциальных уравнениях (11.3) заменим их средним значением по толщине слоя т. е. положим:

Решая уравнения (11.7), получим:

На основании последнего уравнения (11.3) и (11.8) будем иметь:

Используя граничные условия (11.4) и (11.5), получим следующие значения постоянных:

При этих значениях искомые функции представятся приближённо в виде

    (11.10)

Подставляя (11.10) в (11.6) и выполняя интегрирование, получим уравнения для определения А и толщины слоя

Разрешая эти уравнения, получим:

    (11.11)

Сила вязкости, приходящаяся на единицу вращающейся плоскости, будет представляться в виде

Умножая левую и правую части на и проводя интегрирование

по переменному от нуля до некоторого значения R, получим момент сил вязкости, распределённых до диску радиуса R относительно оси вращения:

    (11.12)

Таким образом, в рассматриваемом примере момент сил вязкости относительно оси вращения пропорционален угловой скорости вращения в степени 3/2.