§ 2. Аналогия задачи о прямолинейно-параллельном движении вязкой жидкости с задачами вращения идеальной жидкости и с задачей кручения призматического бруса

Поставленная в предшествующем параграфе задача об установившемся прямолинейно-параллельном течении вязкой несжимаемой жидкости в математическом отношении сходна с некоторыми задачами о движении идеальной жидкости и с задачей о кручении призматического бруса.

Рис. 25.

Рассмотрим случай односвязной области в плоскости в предположении, что ограничивающий контур представляет собой неподвижную твёрдую стенку. Задача об изучении установившегося прямолинейнопараллельного течения вязкой несжимаемой жидкости в трубе постоянного сечения с произвольным очертанием (рис. 25) сводится к решению уравнения Лапласа

при граничном условии

где коэффициент является постоянным.

Представим себе, что цилиндрический сосуд, сечение которого совпадает с сечением трубы (рис. 25), наполненный идеальной и

несжимаемой жидкостью, вращается с угловой скоростью вокруг оси х. Предполагая движение идеальной жидкости внутри сосуда безвихревым, задачу можно свести для функции тока к задаче Дирихле

на контуре

Таким образом, от решения рассмотренной задачи вращения идеальной жидкости можно перейти к решению соответственной задачи о прямолинейно-параллельном движении вязкой жидкости с помощью одной только замены угловой скорости через перепад давления

Постоянное С в (2.4) следует тогда положить равным нулю. Предположим теперь, что неподвижный цилиндрический сосуд с сечением, представленным на рис. 25, заполнен идеальной несжимаемой жидкостью, но находящейся в вихревом движении. Если частицы идеальной жидкости перемещаются только в плоскости то уравнение несжимаемости будет представляться в виде

а вихрь вектора скорости будет равен

Так как граничный контур является линией тока, то на границе функция тока будет равна постоянной величине. Если положить интенсивность вихря во всей области постоянной, то тогда задача изучения движения идеальной несжимаемой жидкости сведется к решению уравнения Пуассона

при граничном условии

Сопоставляя эту задачу с задачей (1.8), (1.9), мы приходим к тому заключению, что для формального перехода от решения задачи о вихревом плоско-параллельном движении идеальной несжимаемой жидкости с постоянной интенсивностью вихря к решению задачи об

установившемся прямолинейно-параллельном движении вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрической трубе той же формы надо лишь положить;

Рассмотрим теперь задачу о кручении призматического бруса, сечение которого представлено на рис. 25. Принимая по Сен-Венану компоненты упругих смещений в виде

где z — степень кручения, — функция кручения Сен-Венана, на основании уравнений равновесия получим для уравнение Лапласа

Вводя сопряжённую с гармоническую функцию и удовлетворяя условию отсутствия поверхностных сил на боковой поверхности бруса, приходим к задаче Дирихле

на границе

Сопоставляя задачу (2.8) с задачей (2.1) и (2.2) мы заключаем, что для перехода к соответственной задаче о прямолинейно-параллельном установившемся движении вязкой несжимаемой жидкости надо постоянное С в (2.8) считать равным нулю, а функцию связанную с функцией напряжений кручения соотношением

умножить на постоянный множитель, равный

Следует обратить особое внимание на последнюю аналогию рассматриваемой нами задачи о прямолинейно-параллельном установившемся движении вязкой несжимаемой жидкости с задачей кручения

призматического бруса. Задачи о кручении призматического бруса решены к настоящему моменту для весьма разнообразных случаев поперечных сечений. Пользуясь указанной аналогией, можно весьма просто получить и решения соответственных задач о движении вязкой несжимаемой жидкости.