§ 9. Обобщённые уравнения Рейнольдса для слоя

В § 2 было указано на то, что приближённые уравнения Рейнольдса для смазочного слоя совершенно не учитывают квадратичных членов инерции и частично учитывают слагаемые от вязкости. Благодаря этим двум допущениям оказалось возможным сравнительно просто решать такие отдельные конкретные задачи, которые были рассмотрены в §§ 4, 5, 7 и 8.

Естественно поставить вопрос, нельзя ли приближённо учесть часть квадратичных членов инерции, но так, чтобы при этом сохранилась та простота решения отдельных задач, которая имеет место при использовании самих уравнений Рейнольдса. Оказывается, что это можно сделать, если вместо проекции действительного ускорения на ось х ввести его осреднённое по толщине слоя значение.

Для плоско-параллельного установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости без учёта массовых сил основное уравнение в проекции на ось представляется в виде

где проекция вектора ускорения на ось х, равная

Умножая левую и правую части (9.2) на и интегрируя по толщине слоя, получим выражение для среднего ускорения в рассматриваемом сечении слоя

Вместо истинного ускорения в левой части (9.1) подставим его осреднённое по толщине слоя значение и затем проведём те упрощения, которые были проведены при выводе уравнений (2.16) Рейнольдса, тогда получим:

    (9.4)

Уравнения (9.4), приближённо учитывающие квадратичные члены инерции, естественно назвать обобщёнными уравнениями Рейнольдса для слоя. Так как правая часть первого уравнения (9.4) не будет зависеть от переменного у, то интегрирование этой системы уравнений будет проводиться так же просто и в том же порядке, в котором проводилось интегрирование основных уравнений Рейнольдса в §§ 3 и 4. Проводя интегрирование по переменному у в первом и третьем уравнениях (9.4), будем иметь:

Подставляя найденные значения и и v в четвёртое уравнение (9.4), можно получить выражение для среднего ускорения, а используя граничное условие для скорости V, можно получить соответственное уравнение для давления. Правую часть выражения (9.4) для среднего ускорения можно представить в другой форме, если учесть равенства

Таким образом, среднее по толщине слоя ускорение будет иметь вид

где через обозначены значения величин, заключённых в скобки, на верхней границе слоя и на нижней (0).

В качестве примера использования уравнений (9.4) рассмотрим задачу о сдавливании слоя вязкого вещества параллельными пластинками (рис. 60) при следующих условиях:

Рис. 60.

Используя граничные условия (9.7), получим выражения для скоростей

где

Второе граничное условие для v даёт уравнение

Следовательно,

где — произвольная постоянная.

Подставляя значение и из (9.8) в правую часть (9.6) и учитывая граничные условия (9.7), получим выражение для среднего ускорения

Если в выражение (9.9) подставить значение из (9.11) и значение А из (9.10) и провести интегрирование, то найдём:

Входящие в это выражение должны быть определены из условий (9.7) для давления.

Таким образом, распределение давления в слое между пластинками будет определяться следующей формулой:

Полученное решение (9.12) будет отличаться от решения обычных уравнений Рейнольдса дополнительным слагаемым

которое не зависит от вязкости и пропорционально квадрату скорости поджатая слоя.

Умножая обе части равенства (9.12) на и интегрируя по переменному х от нуля до I, получим следующую формулу для сопротивления сжатию вязкого слоя прямолинейной пластинкой ширины Н:

Отношение второго слагаемого в правой части (9.13) к первому будет выражаться через число Рейнольдса слоя таким образом:

Следовательно, если число Рейнольдса слоя будет иметь порядок единицы и более, то пренебрегать вторым слагаемым в формуле (9.13) уже нельзя.