§ 6. Неустановившееся круговое движение вязкой жидкости

Если предполагать жидкость несжимаемой, пренебрегать действием массовых сил и считать движение жидкости плоско-параллельным, то дифференциальные уравнения (6.6) и (6.7) главы II в полярных координатах будут представляться в виде

Для кругового движения частиц вязкой жидкости радиальную компоненту скорости необходимо положить равной нулю:

Тогда из уравнения несжимаемости (6.1) получим:

Считая давление не зависящим от полярного угла из первых двух уравнений (6.1) будем иметь:

Первое уравнение (6.3) может быть использовано для определения давления, после того как из второго уравнения будет определена скорость частиц жидкости.

Скорость деформации сдвига в полярных координатах согласно (8.9) главы 1 представляется в виде

Следовательно, сила вязкости для кругового движения частиц жидкости будет определяться равенством

Дифференциальное уравнение (6.3) для определения скорости принадлежит также к параболическому типу. Решение этого уравнения может быть проведено аналогично тому, как это было сделано выше по отношению к дифференциальному уравнению (5.2) для неустановившегося прямолинейного движения вязкой жидкости в цилиндрической трубе.

Рис. 86.

В качестве простейшего примера кругового движения частиц вязкой жидкости рассмотрим задачу о вращении вокруг своей оси бесконечного круглого цилиндра, заполненного вязкой жидкостью. Пусть цилиндр радиуса а (рис. 86) с момента начал вращаться с постоянной угловой скоростью о). Если учесть условие прилипания частиц жидкости к стенкам, то рассматриваемая задача будет сводиться к решению дифференциального уравнения

при следующих граничном и начальном условиях:

Выполняя преобразование Лапласа над уравнением (6.5) и граничным условием (6.6) и учитывая при этом начальное условие, можно

привести рассматриваемую задачу определения скорости к задаче определения изображения этой скорости

Общее решение дифференциального уравнения (6.7) будет представляться через функцию Бесселя первого порядка от мнимого аргумента в виде

Учитывая, что функция обращается в бесконечность при т. е. на оси цилиндра, мы должны постоянную В приравнять нулю. Определяя оставшуюся постоянную А из граничного условия (6.7), получим решение задачи для изображения в виде

Решение же задачи для оригинала будет тогда представляться в виде интеграла

Особенности подинтегрального выражения (6.9) будут совпадать с корнями функции Бесселя от мнимого аргумента

Корни уравнения (6.10) будут чисто мнимыми и будут связаны с действительными корнями функции Бесселя первого порядка

соотношением

Используя разложение мероморфной функции на простые дроби, будем иметь:

где

При вычислении коэффициентов (6.14) были использованы известные соотношения из теорий функции Бесселя:

Так как

то для искомой скорости из (6.9), (6.13) и (6.14) будем иметь следующее выражение:

Подсчитывая силу вязкости на стенке вращающегося цилиндра по формуле (6.4), получим:

Умножая силу вязкости на длину окружности цилиндра и его радиус, получим выражение для того момента, который должен быть

приложен к цилиндру, чтобы поддерживать его вращение с постоянной угловой скоростью

С возрастанием времени величина момента, необходимого для поддержания вращения цилиндра с постоянной угловой скоростью, будет уменьшаться до нуля.