§ 6. Неустановившееся круговое движение вязкой жидкости
Если предполагать жидкость несжимаемой, пренебрегать действием массовых сил и считать движение жидкости плоско-параллельным, то дифференциальные уравнения (6.6) и (6.7) главы II в полярных координатах
будут представляться в виде
Для кругового движения частиц вязкой жидкости радиальную компоненту скорости
необходимо положить равной нулю:
Тогда из уравнения несжимаемости (6.1) получим:
Считая давление
не зависящим от полярного угла
из первых двух уравнений (6.1) будем иметь:
Первое уравнение (6.3) может быть использовано для определения давления, после того как из второго уравнения будет определена скорость
частиц жидкости.
Скорость деформации сдвига в полярных координатах согласно (8.9) главы 1 представляется в виде
Следовательно, сила вязкости для кругового движения частиц жидкости будет определяться равенством
Дифференциальное уравнение (6.3) для определения скорости принадлежит также к параболическому типу. Решение этого уравнения может быть проведено аналогично тому, как это было сделано выше по отношению к дифференциальному уравнению (5.2) для неустановившегося прямолинейного движения вязкой жидкости в цилиндрической трубе.
Рис. 86.
В качестве простейшего примера кругового движения частиц вязкой жидкости рассмотрим задачу о вращении вокруг своей оси бесконечного круглого цилиндра, заполненного вязкой жидкостью. Пусть цилиндр радиуса а (рис. 86) с момента
начал вращаться с постоянной угловой скоростью о). Если учесть условие прилипания частиц жидкости к стенкам, то рассматриваемая задача будет сводиться к решению дифференциального уравнения
при следующих граничном и начальном условиях:
Выполняя преобразование Лапласа над уравнением (6.5) и граничным условием (6.6) и учитывая при этом начальное условие, можно
привести рассматриваемую задачу определения скорости
к задаче определения изображения этой скорости
Общее решение дифференциального уравнения (6.7) будет представляться через функцию Бесселя первого порядка от мнимого аргумента в виде
Учитывая, что функция обращается в бесконечность при
т. е. на оси цилиндра, мы должны постоянную В приравнять нулю. Определяя оставшуюся постоянную А из граничного условия (6.7), получим решение задачи для изображения в виде
Решение же задачи для оригинала будет тогда представляться в виде интеграла
Особенности подинтегрального выражения (6.9) будут совпадать с корнями функции Бесселя от мнимого аргумента
Корни уравнения (6.10) будут чисто мнимыми и будут связаны с действительными корнями функции Бесселя первого порядка
соотношением
Используя разложение мероморфной функции на простые дроби, будем иметь:
где
При вычислении коэффициентов (6.14) были использованы известные соотношения из теорий функции Бесселя:
Так как
то для искомой скорости из (6.9), (6.13) и (6.14) будем иметь следующее выражение:
Подсчитывая силу вязкости на стенке вращающегося цилиндра по формуле (6.4), получим:
Умножая силу вязкости
на длину окружности цилиндра и его радиус, получим выражение для того момента, который должен быть
приложен к цилиндру, чтобы поддерживать его вращение с постоянной угловой скоростью
С возрастанием времени величина момента, необходимого для поддержания вращения цилиндра с постоянной угловой скоростью, будет уменьшаться до нуля.