§ 3. Развитие ламинарного течения жидкости в плоском диффузоре

В § 10 главы IV было рассмотрено радиальное установившееся течение вязкой жидкости в плоском диффузоре с помощью полных уравнений. Но при этом не учитывалось возможное влияние распределения скоростей во входном сечении, через которое жидкость реально может поступать в диффузор из какого-либо отдельного резервуара. По этой причине рассмотренное в § 10 течение в

плоском диффузоре носило характер течения от источника, помещённого в вершине диффузора.

Рассмотрим теперь задачу о развитии плоско-параллельного движения в плоском диффузоре с учётом распределения скоростей во входном сечении, но не на основании точных нелинейных дифференциальных уравнений, а с помощью приближённых линейных уравнений, аналогичных уравнениям (2.1).

Рис. 94.

Пусть две прямолинейные стенки, простирающиеся в направлении оси z до бесконечности, наклонены друг к другу под углом 2а (рис. 94). Предполагая жидкость несжимаемой, а её движение — установившимся и плоско-параллельным, будем иметь из (6.6) и (6.7) главы И следующие дифференциальные уравнения в полярных координатах:

В уравнениях (3.1) как слагаемые от вязкости, так и слагаемые от квадратичных членов инерции учтены полностью. Упростим эти уравнения с помощью лишь частичного учёта слагаемых от вязкости и от ускорения, подобно тому как это делалось в теориях смазочного и пограничного слоя. Во-первых, будем полагать, что производные от по , входящие в правую часть первого уравнения (3.1) в комбинации

в своей совокупности малы по сравнению со второй производной от этой скорости по углу Во-вторых, компоненту скорости будем считать малой по сравнению с и поэтому будем пренебрегать всеми слагаемыми, содержащими эту компоненту скорости

в качестве множителя или под знаком производной по . В-третьих, радиальную скорость, входящую в качестве множителя в первое слагаемое в левой части первого уравнения (3.1), заменим её средним значением, определяемым из выражения расхода источника на плоскости для идеальной жидкости

где Q — полный расход жидкости через сечение диффузора. При этих трёх допущениях получим из (3.1) следующие приближённые уравнения:

Из второго уравнения (3.4) после интегрирования по углу получим:

где - неизвестная функция от . Продифференцируем (3.5) по :

Если подставить выражение (3.6) в правую часть первого уравнения (3.4), то первые слагаемые (3.6) согласно указанным выше допущениям должны считаться малыми по сравнению с и мы их можем (но только после подстановки в отбросить. В таком случае из (3.4) получим:

Задачу о развитии движения жидкости в плоском диффузоре будем решать с помощью приближённых уравнений (3.7).

Сформулируем теперь граничные условия. Условия прилипания жидкости к стенкам будут представляться в виде:

Условие постоянства расхода жидкости через каждое сечение будет давать следующее равенство:

Примем, что по входному дуговому сечению диффузора радиальная скорость распределена равномерно, т. е.

Проводя интегрирование второго уравнения (3.7) по углу получим следующее выражение для поперечной скорости:

В силу постоянства правой части (3.9) условия обращения поперечной скорости в нуль на стенках будут выполнены.

При интегрировании первого уравнения (3.7) по углу получим:

На основании (3.9) интеграл в левой части данного равенства можно заменить отношением расхода к полярному радиусу

Определяя из равенства (3.12) и подставляя в первое уравнение (3.7), получим для радиальной скорости следующее уравнение:

В силу симметричного распределения скоростей по входному сечению можно полагать, что и в каждом другом сечении радиальная скорость будет распределяться симметрично относительно средней линии При этом предположении будем иметь следующие равенства:

Вводя обозначения

и используя равенства (3.14), получим из (3.13) для радиальной скорости дифференциальное уравнение

Данное уравнение (3.16) необходимо решать при следующих граничных условиях:

Если ввести преобразование Лапласа по переменному от радиальной скорости

то будем иметь:

и задача решения уравнения (3.16) при граничных условиях (3.17) сведётся к следующей задаче для изображения:

Общее решение уравнения (3.20) будет представляться в виде

Чтобы удовлетворить первому граничному условию (3.20), необходимо постоянную В приравнять нулю. Определяя вторую постоянную из второго граничного условия (3.20), получим:

Таким образом, решение задачи для изображения будет иметь вид

Обращая преобразование Лапласа, получим для самой радиальной скорости следующее интегральное выражение:

Раскладывая подинтегральное выражение (3.23) на простые дроби, будем иметь:

где связаны с корнями трансцендентного уравнения

соотношением

Коэффициенты будут представляться в виде следующих равенств;

Подставляя разложение (3.24) и равенства (3.27) в (3.23) и вычисляя простейшие интегралы, получим для радиальной скорости выражение

Если от переменного перейти к переменному то радиальная скорость из (3.28) будет представляться в виде

Подставляя (3.29) в (3.12), получим:

Выполняя интегрирование в (3.30) и подставляя в (3.5), будем иметь для давления:

где - постоянная интегрирования правой части (3.30).

Из вида правой части (3.29) заключаем, что радиальная скорость на бесконечном удалении от входа в диффузор обращается в нуль, как и должно быть в силу конечной величины расхода. Вследствие этого постоянная интегрирования должна представлять собой давление на бесконечности в диффузоре.

Полагая в (3.31) , получим следующее выражение для давления на входном сечении рассматриваемого диффузора:

Найдём конечное выражение суммы (3.32).

Раскладывая функцию

на простые дроби будем иметь:

где — корни уравнения (3.25). Выполняя вычисления, получим:

или

Заменяя а через будем иметь:

Составляя разность левых и правых частей (3.33) и (3.34), получим:

Таким образом, разность давления на входном сечении диффузора и на бесконечности будет представляться в виде

При исследовании функции

можно обнаружить, что её значение меньше 0,5 при и больше 0,5 при . Следовательно, при выполнении неравенства

давление в начальном сечении будет превышать то давление, которое имеет место на бесконечном удалении от входа в диффузор.

Если ввести число Рейнольдса так же, как оно вводилось при рассмотрении движения в плоском диффузоре в § 10 главы IV, т. е. в виде отношения полного расхода к кинематическому коэффициенту вязкости

то на основании обозначений (3.15) будем иметь:

Подставляя (3.38) в (3.36), получим следующее неравенство для числа Рейнольдса:

Таким образом, при сравнительно небольших значениях чисел Рейнольдса, не превышающих значение правой части неравенства (3.39), давление у входа будет больше давления на бесконечности, и поэтому течение жидкости будет происходить в сторону падения давления.

При использовании равенства (3.38) выражение (3.35) для перепада давлений можно представить в виде

Если рассматривать случай малых углов раствора диффузора, то последним слагаемым можно пренебречь. В этом случае при выполнении неравенства

течение жидкости будет происходить в сторону возрастания давления.

Обратимся теперь к вычислению силы вязкости. Согласно равенствам (6.5) главы II будем иметь следующее общее выражение для касательной компоненты напряжения:

Слагаемые, содержащие поперечную компоненту скорости, на основании принятых выше допущений должны считаться малыми по сравнению с производной от по углу Следовательно, силу вязкости на стенке диффузора можно подсчитывать по приближённой формуле

Подставляя выражение для радиальной скорости (3.29) в (3.42), получим выражение для силы вязкости на стенке диффузора

В § 1 главы VIII при рассмотрении вопроса об отрыве пограничного слоя от стенки указывалось, что условие отрыва слоя от стенки представляет собой условие обращения силы вязкости на стенке в нуль. Распространим это условие отрыва пограничного слоя на отрыв всего потока вязкой жидкости от стенок диффузора, т. е. место отрыва потока от стенок диффузора будем определять из условия

Полагая левую часть (3.43) равной нулю и обозначая отношение радиуса начального сечения к радиусу сечения места отрыва через s, т. е.

получим уравнение для определения 5

Проведём небольшое исследование уравнения (3.46). Наименьший корень уравнения (3.25) имеет значение

Следовательно, при выполнении неравенства

левая часть уравнения (3.46) при положительных значениях у будет всегда положительной. С другой стороны, известно, что при

будет иметь место неравенство

а в интервале

значение тангенса будет отрицательным:

Таким образом, при выполнении неравенства (3.47) правая часть уравнения (3.46) будет всегда отрицательной. А это значит, что при выполнении неравенства (3.47) уравнение (3.46) не может иметь действительного и положительного решения, т. е. отрыва потока от стенок диффузора произойти не может. Подставляя значение k из (3.39), получим из (3.47) следующее неравенство для числа Рейнольдса:

Таким образом, при сравнительно небольших значениях числа Рейнольдса, не превышающих значение правой части неравенства (3.48), отрыва потока вязкой жидкости от стенок диффузора произойти не может.

В § 10 главы IV показано, что чисто радиальное течение в плоском диффузоре возможно лишь при выполнении неравенства

Сопоставляя правые части неравенств (3.48) и (3.49), мы можем придти к выводу, что при малых углах раствора диффузора правые части этих неравенств не будут резко отличаться друг от друга. Это обстоятельство в известной мере оправдывает принятые выше допущения, благодаря которым точные нелинейные дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости в плоском диффузоре были заменены приближёнными линейными уравнениями (3.7).

Рис. 95.

Некоторое различие правых частей неравенств (3.48) и (3.49) следует объяснить качественным различием самих требований, выполнение которых приводило к этим неравенствам. В одном случае (3.49) неравенство получено в результате требования возможности чисто радиального расходящегося течения в плоском диффузоре, а в другом случае (3.48) неравенство получено в результате требования безотрывности течения жидкости в том же диффузоре.

Уравнение (3.46) будет допускать действительное и положительное значение для s только тогда, когда неравенство (3.48) будет заменено обратным, т. е.

Таким образом, при выполнении неравенства (3.50) будет происходить отрыв жидкости от стенок диффузора, При этом, как это

следует из вида левой части (3.46), с возрастанием числа Рейнольдса (с возрастанием точка отрыва жидкости от стенок будет приближаться к входному сечению (величина s будет уменьшаться). Выполнение неравенства (3.50) влечёт за собой и выполнение неравенства (3.41). А это значит, что при наличии отрыва потока жидкости от стенок течение жидкости будет происходить в сторону возрастания давления.

В цитированной выше работе С. М. Тарга проведено более подробное исследование развития течения вязкой жидкости в плоском диффузоре. В частности, в этой работе приведены и результаты численных расчйтов зависимости положения точки отрыва потока от стенок от значений числа Рейнольдса, и эта зависимость представлена графиком, который мы здесь воспроизводим без изменения (рис. 95).