§ 9. Пограничный слой на теле вращения

Дифференциальные уравнения установившегося движения несжимаемой жидкости в цилиндрических координатах в предположении, что движение жидкости является осесимметричным, т. е.

принимают следующий вид:

Рассмотрим случай обтекания безграничным потоком тела вращения, имеющего уравнение поверхности

При этом предположим, что начало оси расположено в передней критической точке (рис. 74). Благодаря тормозящему действию неподвижной поверхности и вязкости жидкости образуется пограничный слой, облегающий всю переднюю часть поверхности тела. Если исключить из рассмотрения ту небольшую часть пограничного слоя вблизи самой критической точки, то толщина слоя, отсчитываемая по нормали к поверхности тела, будет мало отличаться от разности значений цилиндрического радиуса , взятого для точки на границе слоя и для точки с той же абсциссой на поверхности тела

Рис. 74.

Следовательно, за меру толщины слоя можно взять h. Будем, далее, предполагать отношение условной толщины слоя h к соответственному радиусу поверхности тела настолько малым, что им можно пренебречь, т. е.

    (9.5)

Полагая для точек внутри пограничного слоя

будем иметь:

и поэтому дифференцирование по можно заменить дифференцированием по у. Но в силу предположения (9.5) мы можем, например, в третьем уравнении (9.2) заменить через Таким образом,

уравнение несжимаемости для пограничного слоя на теле вращения можно представить в виде

Если положить

и в уравнениях сохранить лишь члены порядка единицы, то из первых двух уравнений (9.2) можно получить те же уравнения, которые были получены в § 1 для плоского пограничного слоя, т. е.

К тем же уравнениям (9.7) и (9.9) можно прийти и не прибегая к уравнениям (9.2) в цилиндрических координатах, а используя криволинейные координаты и z на самой поверхности тела и направление нормали к этой поверхности. При этом начало отсчёта криволинейной координаты х берётся в критической точке, а дополнительные слагаемые за счёт криволинейности линий учитываются.

Следуя Е. И. Степанову, приведём уравнения (9.7) и (9.9) к тому виду, который имеет место для пограничного слоя на соответственном плоском контуре.

Введём следующую замену координат и скоростей:

где масштаб длины l введён для сохранения размерностей координат и скоростей. Скорость частиц на границе слоя с внешним потоком выразим также в виде функции от новой координаты х, т. е.

Так как

то получим:

и, следовательно, уравнения (9.9) и (9.7) принимают вид

Граничные условия для уравнений (9.9) и (9.7) имеют вид:

Если воспользоваться преобразованиями (9.10), то из условий (9.15) получим:

Таким образом, для изучения движения жидкости в пограничном слое при осесимметричном обтекании тела вращения достаточно провести решение уравнений (9.14) для плоского пограничного слоя при условиях (9.16) и затем воспользоваться формулами преобразований (9.10).

Между прочим, заметим, что при обтекании безграничным потоком цилиндрической трубы в продольном направлении будем иметь:

и уравнение несжимаемости (9.7) переходит в уравнение несжимаемости для плоского потока. Следовательно, в том приближении, в котором составлены уравнения (9.7) и (9.9), пограничный слой для

внутренней поверхности трубы будет одинаков с пограничным слоем на внешней поверхности трубы и будет совпадать с пограничным слоем на пластинке.

В качестве конкретного примера использования преобразований (9.10) рассмотрим пограничный слой на внутренней поверхности конического диффузора с углом раствора (рис. 75). Если ось х направить по верхней границе конуса в плоскости меридиана, а начало её взять в его вершине, то уравнение конуса будет:

Рис. 75.

В качестве линейного масштаба I возьмём расстояние вершины до входного сферического сечения рассматриваемого диффузора, т. е.

Если скорость во входном сечении обозначить через то распределение скоростей в потоке вне пограничного слоя как для источника будет представляться в виде

На основании первой формулы преобразования (9.10) будем иметь:

Подставляя значение х из (9.19) в (9.18), получим:

Для дальнейшего решения задачи применим самый простой и приближённый метод § 6. На основании формулы (6.15) и распределения скоростей (9.20) будем иметь:

Если снова вернуться к переменному х, то найдём:

Считая, что во входном сечении толщина пограничного слоя равна нулю, будем иметь:

Для определения точки положения отрыва пограничного слоя от стенок диффузора применим формулу из того же параграфа (6.16)

Подставляя значение U из (9.20) и значение из (9.21) и обозначая расстояние точки отрыва до вершины конуса через получим уравнение

Решив его, будем иметь:

    (9.23)

Таким образом, отрыв пограничного слоя от стенок произойдёт тем ближе к входному сечению, чем больше угол раствора диффузора, так как