§ 6. Прямолинейное движение вязкой жидкости в круглой кольцевой трубе

Рассмотрим кольцевую трубу, ограниченную двумя концентрическими цилиндрами (рис. 32). Обозначим радиус внутреннего цилиндра через b, внешнего — через а. Будем предполагать, что движение вязкой несжимаемой жидкости в кольцевой трубе является установившимся, прямолинейным и осесимметричным. При этих предположениях для единственной компоненты скорости и будем иметь следующее дифференциальное уравнение:

Рис. 32.

Граничное условие прилипания частиц к твёрдым стенкам представится

в рассматриваемом случае в виде

Общее решение уравнения (6.1) имеет вид

Для определения входящих в это решение постоянных получим на основании граничных условий (6.2) следующие уравнения:

Решая эти уравнения и подставляя найденные значения постоянных в решение (6.3), получим для искомой компоненты скорости следующее выражение:

Заметим, что правая часть полученного решения (6.5) при уменьшении значения радиуса внутреннего цилиндра b до нуля переходит в правую часть решения (5.6) задачи о течении жидкости в круглой цилиндрической трубе.

Для рассмотрения другого предельного случая положим:

Считая отношения малыми, разложим отношение логарифмов, входящее в правую часть (6.5), в ряд и ограничимся в этом ряде слагаемыми, содержащими не выше второй степени. В результате получим приближённое выражение для скорости движения жидкости в тонкой кольцевой трубе

Полученное выражение (6.6) представляет собой не что иное, как решение задачи о прямолинейном движении вязкой жидкости между двумя параллельными и неподвижными стенками, находящимися друг

от друга на расстоянии h. Оно может быть получено и из (3.5) после небольших преобразований.

Обращаясь к решению (6.5), получим для расхода через сечение кольцевой трубы следующую формулу: