§ 9. Компоненты напряжений

Связи в механике заменяются действием особых сил, называемых реакциями связей и прикладываемых в тех точках тела, в которых эти связи осуществляются. Аналогично обстоит дело и в механике деформируемой среды. Если мы хотим рассмотреть какую-либо часть среды, ограниченную некоторой замкнутой поверхностью а (рис. 10), то мы должны заменить действие остальной массы среды реакциями связей. Так как связь рассматриваемой части с остальной массой среды осуществляется по всей поверхности з, то реакции связей должны быть распределены по всей поверхности а. Таким образом, силы воздействия на рассматриваемую часть среды со стороны всей остальной массы суть силы поверхностные.

Рис. 10.

Сила воздействия на рассматриваемую часть среды со стороны окружающей массы, отнесённая к единице площади поверхности соприкосновения а, называется напряжением р.

Напряжение представляет собой вектор, зависящий также и от ориентации рассматриваемой элементарной площадки. Последнее обстоятельство отмечается тем, что к обозначению вектора напряжения

присоединяется внизу индекс, указывающий направление нормали к рассматриваемой площадке (рис. 11).

Если мы эту элементарную площадку будем поворачивать так, чтобы нормаль последовательно совпала с положительными направлениями прямолинейных осей координат, то получим три вектора напряжений:

Рис. 11.

Проектируя эти три вектора напряжений на оси, получим следующую таблицу компонент напряжений в рассматриваемой

По диагонали будут располагаться те компоненты напряжений, направления которых совпадут с направлениями нормалей трёх взаимно перпендикулярных площадок. Эти компоненты напряжений называются нормальными напряжениями. Направления остальных компонент напряжений будут располагаться в плоскостях самих элементарных площадок и поэтому эти компойенты напряжений называются касательными напряжениями.

Рис. 12.

Рассмотрим теперь тетраэдр АВСМ (рис. 12), боковые грани которого соответственно перпендикулярны к осям а грань основания имеет произвольное направление с нормалью . Так как внешние нормали к площадкам параллельны отрицательным направлениям то векторы напряжений по этим площадкам будем обозначать через

Знак минус в индексе означает, что рассматривается напряжение на той стороне площадки, которая обращена наружу тетраэдра, т. е. берём внешнюю нормаль. В силу закона действия и противодействия векторы напряжений, приложенные к обеим сторонам одной и той же элементарной площадки, должны быть равны между собой по величине, но иметь прямо противоположные направления, т. е.

На тетраэдр, помимо напряжений будут действовать ещё массовые силы, вектор которых, отнесённый к единице массы, мы обозначим через F. Следовательно, по закону Ньютона имеем:

    (9.3)

где w — вектор ускорения, — плотность и h — высота тетраэдра. Обозначим направляющие косинусы нормали с осями через тогда

Подставляя это в (9.3) и используя равенство (9.2), после разделения на Да будем иметь:

Будем теперь переходить к пределу, приближая площадку Да к точке т. е. уменьшая h до нуля. В результате получим:

Таким образом, вектор напряжения на площадке с произвольным направлением нормали полностью определяется тремя векторами напряжений на трёх взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через точку, через которую проходит и данная площадка. Следовательно, эти три вектора полностью характеризуют напряжённое состояние в точке. На этом основании эти три вектора, представленные также таблицей (9.1), называются тензором напряжений.

Заметим, что равенство (9.5) после умножения на Да и замены произведения через через представится в виде

Это соотношение означает, что для самих сил напряжений, распределённых по сторонам элементарного тетраэдра, выполняется векторное уравнение равновесия. Таким образом, равенство (9.5) можно рассматривать как следствие того положения, что силы напряжений, распределённых по граням элементарного тетраэдра, образуют систему взаимно уравновешенных сил.