§ 2. Построение решений обобщённых уравнений Стокса

Для установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости без учёта действия массовых сил обобщённые уравнения Стокса (1.6) представятся в виде

Дифференцируя первое уравнение (2.1) по второе — по у, третье — по , складывая результаты и учитывая уравнение несжимаемости, получим для давления дифференциальное уравнение Лапласа

Предположим, что вектор скорости V можно представить в виде суммы потенциального вектора и дополнительного вектора

причём потенциал скоростей удовлетворяет уравнению Лапласа

Подставляя значение и из (2.3) в первое уравнение (2.1), получим:

Так как потенциал скоростей представляет собой пока произвольную гармоническую функцию, а давление также является гармонической функцией, то мы можем связать эти две функции, положив

При этом предположении и при учёте равенств (2.3) и (2.4) дифференциальные уравнения (2.1) представятся в виде

Введём обозначение

Попытаемся удовлетворить дифференциальным уравнениям (2.6), полагая

Подставляя выражения (2.8) в три последних уравнения (2.6), получим:

Пусть функция у удовлетворяет дифференциальному уравнению

При таком предположении первые два уравнения (2.9) будут удовлетворяться тождественно, а из последнего получим:

Этому уравнению мы удовлетворим тождественно, если положим:

При таком представлении скорости первое уравнение (2.6) будет также тождественно удовлетворяться в силу уравнения (2.10).

Таким образом, для некоторых случаев установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости без учёта массовых сил решения обобщённых дифференциальных уравнений Стокса можно представить в виде

где функция удовлетворяет дифференциальному уравнению Лапласа (2.4), а функция х удовлетворяет дифференциальному уравнению (2.10).

Компоненты вихря на основании (2.12) будут иметь вид

На основании равенств приходим к тому заключению, что решения в форме (2.12) могут иметь место лишь тогда, когда все вихревые линии располагаются в плоскостях, перпендикулярных к скорости потока на бесконечности. Для плоско-параллельного и осесимметричного движения жидкости как раз такое положение вихрей и имеет место. Следовательно, для этих видов движения вязкой несжимаемой жидкости можно строить решения обобщённых уравнений Стокса (2.1) в форме (2.12).

Условия прилипания частиц жидкости к поверхности S, ограниченной контуром 1 неподвижного тела, запишутся следующим образом:

    (2.14)

В силу условий (2.14) компоненты вихря (2.13) на поверхности будут равны

В § 4 главы III было показано, что главный вектор сил воздействия вязкой несжимаемой жидкости на неподвижное тело при плоскопараллельном и осесимметричном её движениях представляется в виде

где — единичный вектор внешней нормали к поверхности — единичный вектор касательной к поверхности S в плоскости движения частиц жидкости и — компонента вихря, перпендикулярная к плоскости движения,

Для плоско-параллельного движения вязкой жидкости будем иметь из (2.15):

поэтому, используя выражение (2.5) для давления, получим из (2.16) и (2.17) следующую формулу для главного вектора сил воздействия на плоский неподвижный контур у.

Рис. 62.

Для осесимметричного движения жидкости третьей компонентой вихря будет

где а — полярный угол в плоскости (рис. 62). Так как

то из (2.19) и (2.15) получим:

Таким образом, главный вектор сил воздействия (2.16) на неподвижное тело при осесимметричном движении вязкой несжимаемой жидкости равен

Так как на основании рис. 62

то, подставляя сюда значения v и w из (2.12), получим:

Таким образом, для осесимметричного движения вязкой несжимаемой жидкости компоненты скоростей будут:

Обратимся теперь к дифференциальному уравнению (2.10) Полагая

будем иметь:

Следовательно, несимметричное относительно переменных х, у, z дифференциальное уравнение (2.10) при подстановке (2.24) приводится к симметричному уравнению Гельмгольца