§ 5. Распределение скоростей в частице

Рассмотрим частицу жидкости (рис. 3). Какую-то точку внутри частицы с координатами обозначим через назовём её условно центром частицы. Пусть вектор скорости V в центре частицы имеет проекции на прямоугольной оси координат Обозначая единичные векторы осей координат через будем иметь:

Рис. 3.

Возьмём теперь произвольную точку М с координатами Вектор скорости в этой точке в предположении, что значения настолько малы, что квадратами их можно пренебречь, будет

представляться в виде

Таким образом, вектор относительной скорости точки М по отношению к точке О будет представляться в виде однородной линейной функции относительных координат, т. е.

Проекция вектора относительной скорости рассматриваемой точки М на ось будет тогда представляться в виде

Прибавляя и вычитая из правой части (5.3) следующие количества:

проекцию можно представить следующим образом:

Вводим следующие обозначения:

При этих обозначениях равенство (5.4) представится в виде

Проведя аналогичные преобразования по отношению к проекциям получим:

Умножая левые и правые части (5.6) и (5.7) на единичные векторы соответственно и складывая, получим следующее выражение для вектора относительной скорости в произвольной точке М частицы:

Определитель в правой части (5.8) есть векторное произведение вектора на относительный радиус-вектор Такое векторное произведение может рассматриваться как вектор линейной скорости точки М от вращения частицы как единого целого относительно мгновенной оси, проходящей через точку О, с угловой скоростью т. е.

Вектор проекции которого представляются тремя последними соотношениями (5.5), называется вектором вихря частицы.

Что касается первого вектора в правой части (5.8), то это есть дополнительный вектор той скорости, которая обусловлена возможными деформациями частицы. Обозначая его через будем иметь:

    (5.10)

Учитывая обозначения (5.9) и (5.10), равенство (5.8) можно представить в виде

Таким образом, относительное движение точек частицы по отношению к её центру составляется из вращательного движения частицы как целого и движения, обусловленного деформацией частицы.

Возвращаясь к равенству (5.1) и учитывая (5.11), получим:

Равенством (5.12) представляется теорема Гельмгольца о разложении движения частицы, жидкости. Согласно этой теореме движение частицы жидкости может быть составлено из трёх движений. 1) поступательного движения, совпадающего с движением центра частицы, 2) вращательного движения вокруг мгновенной оси, проходящей через центр частицы, с угловой скоростью, равной вихрю вектора скорости центра, и 3) движения, обусловленного деформацией частицы.