§ 4. Движение между неограниченными параллельными стенками
Допустим, что неограниченная стенка, совпадающая с плоскостью 
является неподвижной, а параллельная стенка, расположенная на расстоянии h от первой, начала перемещаться с момента 
с постоянной скоростью U в положительную сторону оси х
(рис. 84). Предполагая движение частиц вязкой несжимаемой жидкости строго прямолинейным и используя условия прилипания для рассматриваемой задачи, будем иметь:
Рис. 84.
Выполняя преобразование Лапласа над дифференциальным уравнением и граничными условиями, получим:
где
(4.3)
Решение задачи (4.2) для изображения будет представляться в виде
Используя формулу (2.14) для обращения преобразования Лапласа, получим для скорости движения частиц следующее интегральное выражение:
Для вычисления интеграла (4.5) по комплексному переменному надо установить вычеты подинтегрального выражения. Приравнивая знаменатель нулю и учитывая, что корни гиперболического синуса являются чисто мнимыми и численно равными целому числу 
, найдём:
Все полюсы будут простыми, поэтому мы можем воспользоваться разложением мероморфной функции на простые дроби в виде
Для определения вычета 
мы должны умножить обе части равенства (4.7) на 
и затем устремить 
к нулю, т. е.
для определения же вычета 
надо умножить (4.7) на разность 
и устремить 
к значению 
учитывая, что
Таким образом, для коэффициента 
получим:
В рассматриваемом нами случае (4.5) будем иметь:
Суммируя вычеты (4.10) и (4.11) и подставляя в (4.5), получим следующее выражение для скорости частиц жидкости:
Выражение (4.12) указывает на то, что при стремлении t к бесконечности
распределение скорости становится линейным, т. е.
Таким образом, решение задачи об установившемся движении жидкости между параллельными стенками получается из решения задачи о неустановившемся движении при обращении t в бесконечность.
Для силы вязкости на движущейся стенке получим из (4.12):
Для начального момента 
сумма ряда (4.14) обращается в бесконечность. Следовательно, сила вязкости на движущейся стенке в момент начала внезапного перемещения её с конечной скоростью будет обращаться в бесконечность.
Если стенка будет перемещаться с переменной скоростью
то решение задачи по формуле (1.12) будет представляться в виде
где
