§ 2. Асимптотический пограничный слой на пластинке

Рассмотрим установившееся обтекание безграничным плоским потоком несжимаемой жидкости в продольном направлении плоскости, простирающейся вдоль положительного направления оси х до бесконечности (рис. 69). Так как скорость во внешнем потоке будет всюду постоянной и равной то и давление будет также постоянным, и поэтому

Рис. 69.

Уравнения пограничного слоя (1.13) при этом принимают вид

В качестве граничных условий принимаем условие прилипания (1.14) и одно лишь первое условие (1.15) для скорости на бесконечности:

Для решения уравнений (2.1) введём безразмерную переменную величину

и примем, что компонента скорости и есть функция только от одной введённой безразмерной переменной

На основании уравнения несжимаемости вводим функцию тока полагая

Чтобы удовлетворить предположению (2.4), необходимо для функции тока принять следующее выражение:

где функция от одной безразмерной переменной . При таком предположении будем иметь:

Подставляя значения и их производных из (2.6) в первое уравнение (2.1), получим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка:

Граничные условия (2.2) принимают теперь вид:

Решение нелинейного с одним числовым коэффициентом дифференциального уравнения (2.7) в окрестности можно искать в виде степенного ряда

Чтобы удовлетворить двум первым граничным условиям (2.8), первые два коэффициента ряда (2.9) необходимо приравнять нулю:

Подставляя ряд (2.9) в уравнение (2.7) и приравнивая нулю суммы коэффициентов при различных степенях переменного получим в конце концов следующий ряд для искомой функции

В этом ряде коэффициенты имеют определённые числовые значения, например

а множитель является пока неопределённым.

Для установления вида решения уравнения (2.7) для весьма больших значений аргумента можно применить следующий приближённый

метод. Решение уравнения (2.7), отвечающее прямолинейно-параллельному течению идеальной жидкости, имеет вид

где — неизвестная постоянная. Первая производная от этого решения всюду равна единице, следовательно, третье граничное условие (2.8) будет удовлетворено. Для построения второго приближения заменим в уравнении (2.7) произведение через тогда получим следующее уравнение для второго приближения:

выполняя интегрирование, будем иметь:

где f — постоянная. Вторая и первая производные от второго приближения будут представляться в виде

Нижний предел во второй формуле был выбран с тем расчётом, чтобы первая производная от рассматриваемого приближения обращалась в нуль при бесконечно большом значении аргумента.

Ограничиваясь только двумя первыми приближениями, будем иметь следующую приближённую асимптотическую формулу для искомого решения уравнения (2.7):

Чтобы правая часть (2.14) действительно представляла аналитическое продолжение на область больших значений аргумента функции ), представляемой для области малых значений аргумента рядом (2.10), необходимо потребовать совпадения значений (2.10) и (2.14) для ряда тех значений аргумента, при которых обе формы могут иметь место. Требуя, например, совпадения значений (2.10) и (2.14) при трёх значениях аргумента, получим три уравнения для численного определения трёх постоянных

На основании такого рода численных вычислений были получены следующие значения:

К решению уравнения (2.7) при условиях (2.8) были применены и другие методы. В частности, методом численного интегрирования была составлена подробная таблица значений основной безразмерной скорости Некоторые значения из этой таблицы приводятся ниже.

Таблица 1

Для силы вязкости в точках самой пластинки будем иметь

Используя данные таблицы 1., получим:

Таким образом, сила вязкости в точках пластинки будет представляться в виде

Умножая обе части равенства (2.15) на и проводя интегрирование в пределах от нуля до получим следующую формулу для силы сопротивления трения обеих сторон пластинки длины l и ширины, равной единице:

Вводя коэффициент сопротивления трения

и число Рейнольдса

получим:

Таким образом, коэффициент, сопротивления трения пластинки, создаваемого пограничным слоем, обратно пропорционален квадратному корню из числа Рейнольдса.

При рассмотрении асимптотического пограничного слоя толщина слоя будет условной величиной. За верхнюю границу пограничного слоя можно, например, взять геометрическое место тех точек, в которых величина основной скорости и отличается от соответственной скорости внешнего потока на один лишь процент, т. е.

Этому значению скорости отвечает в таблице 1 приблизительно значение равное 5. Учитывая формулу (2.3), получим для толщины слоя следующую зависимость:

Таким образом, толщина пограничного слоя на пластинке увеличивается вдоль самой пластинки по закону параболы. Но чаще всего в качестве толщины пограничного слоя принимается утроенная величина толщины вытеснения 8, причём под толщиной вытеснения подразумевается величина 8, определяемая равенством

Величина 8 характеризует смещение внешних линий тока от рассматриваемой обтекаемой потоком поверхности тела, которое обусловлено образованием пограничного слоя. Если использовать таблицу 1 значений их или первое приближение (2.11), то для толщины вытеснения для случая пластинки можно будет получить выражение

Таким образом, для толщины пограничного слоя на прямолинейной пластинке будем иметь формулу

Эксперименты, проведённые Хансеном но определению распределения скоростей в пограничном слое на пластинке, показали вполне удовлетворительное согласование результатов вычислений, представленных в таблице 1, с результатами измерений до значений чисел Рейнольдса порядка 300 000. Некоторое отклонение результатов измерений от результатов вычислений имеет место для точек, расположенных вблизи носика пластинки. Это отклонение в значительной мере должно объясняться тем, что предпосылки теории пограничного слоя вблизи края пластинки менее справедливы, чем вдали от края.