§ 3. Движение круглого цилиндра

Общие соображения, изложенные в предшествующем параграфе применим к частной задаче о движении круглого цилиндра.

Пусть круглый цилиндр радиуса а перемещается поступательно в вязкой несжимаемой жидкости параллельно оси х с постоянной скоростью U (рис. 43). Считая движение жидкости установившимся и пренебрегая действием массовых сил и квадратичными членами инерции, получим для функции тока бигармоническое уравнение

Рис. 43.

В полярных координатах проекции вектора скорости частиц жидкости через функцию тока будут представляться в виде

3 силу предположения о прилипании частиц жидкости к стенке будем иметь граничные условия на самом цилиндре в виде

    (3.3)

В качестве нового допущения принимаем, что возмущения, вызываемые самим движением цилиндра в вязкой жидкости, будут исчезающе малыми не на бесконечном удалении от цилиндра, а на некотором конечном расстоянии, равном b. Таким образом, в качестве вторых граничных условий принимаем условия обращения в нуль скоростей на конечном расстоянии от цилиндра, т. е.

Вид граничных условий (3.3) даёт некоторое основание к тому, чтобы искать решение уравнения (3.1) в виде

При таком предположении будем иметь:

Решение дифференциального уравнения

представляется в виде

На основании (2.7) вихрь в рассматриваемом случае будет равен

Для давления согласно (2.9) получим следующее выражение:

Таким образом, будем иметь:

Для определения же выражений для проекций скоростей необходимо ещё решить следующее дифференциальное уравнение:

При первом интегрировании этого уравнения получим:

После второго интегрирования будем иметь:

Таким образом, для функции тока и проекций скоростей будем иметь следующие выражения:

Сопоставляя выражения (3.8) и (2.9), получим:

или

где К — произвольная постоянная

Подставляя значение из (3.10) в формулу (2.13) и учитывая, интегралы от и К обращаются в нуль, а интеграл от равен , получим для результирующего воздействия на рассматриваемый круглый цилиндр выражение

Таким образом, вектор результирующего воздействия на круглый цилиндр при его поступательном движении зависит только от одной постоянной, являющейся множителем при том слагаемом в выражении (3.9) функции тока, которое содержит логарифм от полярного радиуса.

Используя граничные условия (3.3) и (3.4) и выражения для скоростей (3.9), получим следующие уравнения для определения произвольных постоянных:

Исключая из этих уравнений С и D, будем иметь:

Отсюда, обозначая

толучим для постоянного В следующее выражение:

Подставляя значение В в (3.11) и приравнивая действительные части, получим формулу для сопротивления круглого цилиндра при его поступательном движении в вязкой несжимаемой жидкости

На основании формулы (3.14) мы заключаем, что сопротивление пропорционально коэффициенту вязкости и скорости поступательного движения в первой степени. Безразмерный множитель, входящий в формулу (3.14), зависит от отношения радиуса зоны возмущений, вызываемых движением цилиндра, к радиусу самого цилиндра. При возрастании радиуса зоны возмущений до бесконечности безразмерный коэффициент сопротивления будет уменьшаться до нуля а при уменьшении радиуса этой зоны дб значения радиуса цилиндра коэффициент сопротивления будет возрастать до бесконечности. Действительное значение радиуса возмущений, очевидно, можно установить только на основании каких-либо измерений или каких-либо дополнительных соображений.