§ 2. Движение неограниченной плоскости в вязкой жидкости

В качестве первого примера неустановившегося прямолинейнопараллельного движения вязкой несжимаемой жидкости рассмотрим то движение жидкости, которое обусловлено перемещением неограниченной плоской стенки. Пусть стенка представляет собой горизонтальную плоскость а жидкость располагается по одну сторону от этой плоскости (рис. 78). До момента жидкость и стенка находились в покое. С момента стенка приходит в движение с постоянной скоростью U вдоль положительного направления оси х. Благодаря неограниченности стенки в направлении оси z можно полагать, что скорость частиц жидкости не будет зависеть от переменного

Рис. 78.

Кроме того, можно считать, что перепад давления будет равен нулю:

При этих предположениях рассматриваемая задача будет сводиться к решению дифференциального уравнения

при следующих начальных и граничных условиях:

Для решения поставленной задачи применим метод функционального преобразования Лапласа. Умножим обе части уравнения (2.1) на

где — параметр преобразования, и проинтегрируем от нуля до бесконечности:

    (2.3)

Выполняя в левой части уравнения (2.3) интегрирование по частям, получим:

    (2.4)

Будем полагать, что действительная часть параметра преобразования положительна, тогда первое слагаемое в правой части (2.4) при подстановке в него верхнего предела обратится в нуль. Введём следующее обозначение:

    (2.5)

Функцию — принято называть изображением по Лапласу функции а функцию и — оригиналом.

Учитывая (2.5), получим из (2.4):

Таким образом, дифференцирование оригинала по времени приводит к умножению изображения по Лапласу на параметр преобразования и вычитанию значения дифференцируемой функции для начального момента времени. В рассматриваемом нами случае начальное значение искомой скорости и равно нулю, т. е.

Используя (2.5) и (2.6), получим из (2.3) следующее обыкновенное дифференциальное уравнение для изображения:

Таким образом, метод преобразования Лапласа позволяет уменьшить число независимых переменных на единицу. Дифференциальное уравнение (2.1) для оригинала в частных производных с помощью преобразования Лапласа преобразовано в обыкновенное дифференциальное уравнение (2.7) для изображения.

Теперь преобразуем граничные условия для оригинала в граничные условия для изображения. В рассматриваемом нами случае в силу постоянства скорости U будем иметь:

Общее решение уравнения (2.7) представляется в виде

Используя граничные условия (2.8), получим следующее выражение для изображения:

Подставляя значение и в (2.5), получим для оригинала интегральное уравнение

Таким образом, при применении метода преобразования Лапласа основная трудность решения той или иной задачи переносится на определение оригинала по найденному изображению. Но благодаря наличию достаточно подробных таблиц для определения оригинала по изображению метод преобразования Лапласа находит всё большее и большее применение при решениях задач механики и физики.

Решение интегрального уравнения (2.5) по отношению к оригиналу представляется формулой обращения преобразования Лапласа. Для установления этой формулы проведём следующие рассуждения.

Пусть и представляет собой функцию только от переменного времени I, причём 1) функция непрерывна и ограничена и 2) интеграл абсолютно сходится, где а — некоторое положительное число. Тогда для функции

будут выполняться достаточные условия для представления её интегралом Фурье в комплексной форме, т. е.

Подставляя значение из (2.11), получим:

Вместо переменного а введём новое переменное, полагая

тогда получим:

Положим, что функция и (К) обращается в нуль для всех отрицательных значений А. При этом условии нижний предел во втором интеграле (2.13) можно положить равным нулю, а поэтому весь интеграл можно заменить его значением (2.5). В результате получим следующую формулу обращения преобразования Лапласа:

Таким образом, если не пользоваться готовыми таблицами, то для определения оригинала по изображению необходимо выполнить квадратуру по комплексному переменному вдоль бесконечной прямой, параллельной мнимой оси и отстоящей от неё на расстоянии а. Прямая называется осью сходимости интеграла Лапласа (2.5), так как, по предположению, этот интеграл сходится, если

Интеграл в правой части (2.14) понимается в смысле своего главного значения. Для вычисления интеграла (2.14) можно пользоваться некоторыми теоремами, доказанными для интегралов такого вида. В частности, если и представляет собой регулярную функцию в любой конечной части плоскости комплексного переменного , за исключением множества точек, представляющих собой полюсы этой функции, то значение всей правой части (2.14) представляется в виде суммы вычетов, т. е.

где — вычет функции — в точке . В других случаях при наличии точек ветвления функции и приходится контур интегрирования деформировать и использовать, например, лемму Жордана, согласно которой

где — дуга окружности при этом предполагается, что сама функция на дугах равномерно стремится к нулю относительно при

Возвращаясь к рассматриваемому нами случаю (2.10), получим из (2.14) выражение для оригинала в виде

Подинтегральное выражение (2.17) имеет особую точку в начале координат, представляющую собой точку ветвления. Проведём на плоскости комплексного переменного контур ABCDEFA, состоящий из отрезка прямой при малом значении а, из полуокружности радиуса R, двух разрезов CD и EF и малой окружности DE вокруг начала координат (рис. 79).

Рис. 79.

В области, ограниченной замкнутым контуром ABCDEFA, функция, стоящая под знаком интеграла (2.17), не имеет никаких особенностей, а поэтому по теореме Коши

Отсюда получим:

где в скобках под знаками интегралов в правой части должна находиться та же функция, которая стоит в левой части под знаком интеграла. Будем теперь увеличивать радиус полуокружностей до бесконечности. Тогда интеграл в левой части (2.18) будет стремиться к интегралу (2.17). Интегралы в правых частях по дугам окружностей ВС и РА согласно лемме (2.16) будут обращаться в нуль. Интеграл по окружности DE будет представлять собой вычет рассматриваемой функции в точке с обратным знаком, умноженный на

Таким образом, из (2.18) будем иметь:

Преобразуем переменные интегрирования в правой части (2.19). Для разреза CD положим:

тогда для разреза ЕР будем иметь:

Используя новые переменные, из (2.19) получим:

Таким образом, окончательное решение рассматриваемой задачи представляется в виде

Подсчитаем теперь значение силы вязкости на движущейся стенке:

Интеграл в правой части можно представить через интеграл Пуассона

Следовательно, сила вязкости на движущейся с постоянной скоростью стенке равна

В момент начала внезапного перемещения плоскости с конечной скоростью сила вязкости обращается в бесконечность, что естественно ожидать по аналогии с явлением удара. Однако, если подсчитать импульс силы вязкости

и устремить промежуток времени его действия а к нулю, то получим для импульса значение нуль. Таким образом, импульс, потребный для внезапного приведения плоскости в движение с конечной скоростью, будет зависеть только от массы самой плоскости и не будет совершенно зависеть от плотности и вязкости соприкасающейся со стенкой жидкости.

Если стенка будет перемещаться с переменной скоростью, зависящей явно от времени:

то решение задачи о передаче движения от стенки к слоям жидкости можно представить на основании формулы Дюгамеля (1.12) в виде

где

В частности, сила вязкости на стенке при переменной скорости движения самой стенки будет представляться в виде

Правая часть (2.24) указывает на то, что сила вязкости на стенке в момент t зависит от всего предшествующего состояния движения этой стенки.

Обозначим через М массу единицы площади, а через внешнюю силу, приходящуюся также на единицу площади стенки и зависящую только от времени. Составляя дифференциальное уравнение движения стенки с учётом силы F и силы вязкости (2.24), найдём:

Таким образом, для определения ускорения движущейся стенки мы получили интегральное уравнение Вольтерра с ядром, зависящим от разности . Такого вида интегральные уравнения решаются с помощью того же преобразования Лапласа.

Умножая левую и правую части (2.25) на

проводя интегрирование от нуля до бесконечности и вводя обозначения

получим:

    (2.27)

Предположим, что функция такова, что в последнем слагаемом (2.27) возможна перемена порядка интегрирования. Областью интегрирования (2.27) служит бесконечный треугольник выше биссектрисы (рис. 80). При первом интегрировании по переменному t в (2.27) мы должны идти вдоль отрезка при втором интегрировании

отрезок должен перемещаться вверх от начала координат до бесконечности. После перемены порядка интегрирования мы должны при первом интегрировании по переменному t перемещаться по прямой, параллельной оси t, от х до бесконечности, а при втором интегрировании эту прямую необходимо перемещать вправо от начала координат до бесконечности. Следовательно, будем иметь:

Полагая затем

и учитывая (2.26), получим:

Таким образом, соотношение (2.27) представится в виде

Отсюда для преобразования Лапласа от ускорения будем иметь:

Рис. 80.

Применяя равенство (2.6), получим:

где - преобразование Лапласа от скорости.

Приравнивая правые части (2.28) и (2.29), получим следующее выражение для преобразования Лапласа от переменной скорости движущейся стенки:

Рассмотрим тот случай, когда внешняя сила F отсутствует и когда стенка после получения некоторой начальной скорости

движется только под действием тормозящей силы вязкости. Для определения по изображению (2.30) оригинала мы можем воспользоваться, как указывалось выше, справочными таблицами или провести те же рассуждения и вычисления, которые были проведены выше при введении в рассмотрение замкнутого контура ABCDEFA. В результате для оригинала скорости движения стенки можно получить выражение

где

В правой части (2.31) находится функция, которая широко используется в теории вероятностей. Вводя для этой функции обозначение

будем иметь:

Полагая, например,

по таблицам, приводимым в курсе теории вероятностей, получим:

Таким образом, скорость движущейся плоскости уменьшается примерно на по прошествии промежутка времени, определяемого из соотношения