§ 8. Круговое движение между двумя вращающимися цилиндрами
Применим полученные в предшествующем параграфе результаты к случаю движения жидкости между двумя концентрическими цилиндрами (рис. 33).
Рис. 33.
Пусть внутренний цилиндр имеет радиус b и вращается с угловой скоростью 
а внешний имеет радиус а и вращается с угловой скоростью 
Граничные условия прилипания частиц жидкости к стенкам будут иметь вид
Обращаясь к формуле (7.10), мы видим, что давление при изменении угла 
будет многозначной функцией. Для устранения этой многозначности надо положить:
Используя граничные условия (8.1) и равенство (8.2), получим уравнения для определения постоянных 
откуда
Подставляя значения постоянных 
в равенства (7.9), (7.10) и (7.12), будем иметь следующие формулы для скорости, давления и силы вязкости:
Подсчитаем момент всех сил вязкости, распределённых по какой-либо окружности радиуса 
, относительно оси симметрии. Обозначая этот момент через L, будем иметь:
Подставляя выражение 
из (8.7), получим выражение момента сил вязкости в виде
Таким образом, момент сил вязкости, распределённых по любой окружности, относительно оси симметрии не зависит от радиуса этой окружности. Это значит, что если мы возьмём слой, ограниченный двумя окружностями, то моменты сил вязкости, распределённых по этим окружностям, будут равны по величине, но обратны по знаку (в силу разных направлений нормали), т. е. для моментов сил вязкости будет выполняться уравнение равновесия.
Впервые задачу о движении жидкости между двумя вращающимися круговыми цилиндрами решил Ньютон. При решении этой задачи он впервые формулирует свою гипотезу о вязкости жидкости, но уравнение для скорости им было составлено неправильно. Ньютон исходил из равновесия самих сил вязкости, а не их моментов. На эту ошибку указал Стокс, который дал правильное решение задачи. Более подробное решение рассматриваемой задачи с учётом граничных условий частичного торможения частиц жидкости вдоль поверхностей цилиндров было дано в работе Н. П. Петрова.
Рассмотрим частные случаи. Уменьшая значение радиуса внутреннего цилиндра b до нуля, получим из (8.5), (8.6), (8.7) и (8.8):
(8.9)
Полученные формулы (8.9) представляют решение задачи о вращении кругового цилиндра, наполненного вязкой жидкостью. Таким образом, при установившемся движении вязкая жидкость внутри цилиндра вращается как абсолютно твёрдое тело. Для поддержания равномерного вращения цилиндра с вязкой жидкостью не требуется момента внешних сил. Чтобы получить решение задачи о вращении круглого цилиндра в безграничной жидкости, необходимо в формулах (§ 5), (8.6), (8.7) и (8.8) вначале положить:
а затем радиус внешнего цилиндра а увеличивать до бесконечности. В результате мы получим:
Первая формула (8.10) показывает, что скорость частиц изменяется с расстоянием от оси так же, как если бы на оси цилиндра располагалась вихревая нить и жидкость была бы идеальной. Следовательно, движение частиц вне цилиндра в этом случае, как уже было указано в § 1 главы III, будет потенциальным. Для поддержания равномерного движения цилиндра в неограниченной жидкости необходимо приложить момент внешних сил, пропорциональный угловой скорости вращения цилиндра, коэффициенту вязкости и квадрату радиуса цилиндра.
Полученное выражение (8.8) для момента сил вязкости используется в приборах с концентрическими цилиндрами, предназначенных для экспериментального определения вязкости. Измеряя каким-либо способом момент сил вязкости, мы получаем возможность по этой формуле подсчитать значение коэффициента вязкости.
