Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 4. Об устойчивости ламинарных течений между параллельными стенками и в пограничном слоеВ § 2 было указано, что исследование устойчивости ламинарного плоско-параллельного течения между параллельными стенками и в пограничном слое по методу малых колебаний сводится к решению дифференциального уравнения (2.9) для функции тока
и полагая
получим из (2.9) следующее дифференциальное уравнение четвёртого порядка для неизвестной функции
Составляющие вектора скорости поля возмущений будут при этом равны:
Для исследования устойчивости ламинарного течения между двумя неподвижный» стенками представляться в виде
где
Учитывая равенства (4.4) и (4.6), можно записать условия прилипания частиц жидкости к стенкам в поле возмущений в виде
Для исследования устойчивости течения в пограничном слое решение уравнения (4.3) должно проводиться при выполнении условия прилипания к одной стенке
и при выполнении дополнительного условия на границе слоя, отражающего собой непрерывный переход решения уравнения (4.3) для вязкой жидкости в решение соответственного уравнения для идеальной жидкости. Уравнение поля возмущений для идеальной жидкости мы получим из (4.3), полагая
При этом предельном переходе мы получим из (4.3) уравнение
общее решение которого представляется в виде
Чтобы иметь ограниченное решение уравнения (4.9), необходимо постоянную
Отсюда мы получим следующее дополнительное условие, которому необходимо подчинить решение уравнения (4.3) для случая исследования устойчивости течения в пограничном слое:
К условиям (4.8) и (4.10) присоединяется условие ограниченности решения при неограниченном возрастании переменного у, т. е.
Так как
Основная идея исследования устойчивости ламинарного течения сводится к тому, чтобы найти зависимость между этими тремя параметрами a, R и с:
Если эта зависимость будет разрешена относительно параметра с, то после отделения действительной и мнимой части будут получены равенства
Из равенств (4.4) следует, что исследуемое течение будет устойчивым для положительных значений
на плоскости параметров а и R будет разграничивать области устойчивых и неустойчивых течений. К построению такой разграничительной кривой и должна сводиться рассматриваемая задача об устойчивости ламинарных течений. Такая зависимость между параметрами должна быть установлена с помощью четырёх независимых решений уравнения (4.3) и соответственных однородных граничных условий. Если независимые решения обозначить через
Используя однородные граничные условия (4.7), мы получим однородную систему четырёх уравнений относительно постоянных характеристическое или вековое уравнение
Это уравнение как раз и будет представлять собой зависимость (4.12) между параметрами a, R и с для случая ламинарного течения между параллельными неподвижными стенками. Для течения в пограничном слое мы должны одно из независимых, например
Это общее решение должно удовлетворять граничным условиям (4.8) и (4.10). Но так как при приближении к границе слоя уравнение (4.3) должно вырождаться в уравнение (4.9), то на этой границе третье независимое решение
Чтобы из вековых уравнений (4.16) и (4.18) получить уравнение разграничительной кривой (4.14) в конкретном виде, необходимо в явном виде построить четыре независимых решения уравнения (4.3); в этом-то и заключается основная математическая трудность рассматриваемой задачи об устойчивости ламинарных течений. Наиболее распространённым методом решения обыкновенного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами является метод представления решения по степеням соответственно выбранного малого параметра. Так как ламинарное течение теряет устойчивость при сравнительно больших значениях числа Рейнольдса, то в рассматриваемом случае в качестве малого параметра можно было бы выбрать отношение Но в уравнении (4.3) этот малый параметр входит множителем при старшей производной. Это обстоятельство создаёт дополнительные трудности в применении метода разложения решения по степеням малого параметра Эти трудности возникают, во-первых, оттого, что в нулевом приближении мы получим дифференциальное уравнение второго порядка, а не четвёртого. Следовательно, в этом приближении можно построить только два независимых решения, а не четыре. Во-вторых, для дифференциального уравнения второго порядка точка
будет особой точкой, тогда как для полного уравнения (4.3) эта точка не будет особой. На это обстоятельство раньше не обращалось внимание исследователей; именно по этой причине и не удавалось обнаружить неустойчивость ламинарного течения между параллельными стенками. Наличие особой точки Первые два независимых решения строятся путём непосредственного разложения решения по степеням параметра Полагая
подставляя это разложение в уравнение (4.3) и собирая коэффициенты при одинаковых степенях параметра, получим следующую последовательность дифференциальных уравнений второго порядка:
Дифференциальное уравнение (4.21) нулевого приближения, отвечающее полю возмущений без учёта сил вязкости, можно решить с помощью разложений по степеням параметра
где
Последующие приближения могут быть найдены из уравнений (4.22) с помощью метода вариации произвольной постоянной через решения (4.23). Но при вычислениях, оказывается, можно обойтись и без последующих приближений. Для построения других независимых решений уравнений (4.3) в асимптотической форме положим:
Подставляя (4.25) в уравнение (4.3), получим для g нелинейное дифференциальное уравнение
Будем решать это уравнение с помощью следующего ряда:
Собирая коэффициенты при одинаковых степенях параметра
Решения этих уравнений строятся без всяких квадратур. Первые два решения представляются в виде
Для определённости положим:
Для отрицательных значений разности w — с будем полагать Обратим внимание на то, что если для уравнения (4.21) точка
Таким образом, четыре независимых решения уравнения (4.3) в первом приближении будут представляться в виде (4.23) и (4.30). Однако эти решения не могут быть непосредственно использованы, так как не выяснено поведение этих решений в окрестности точки
Представляя решение уравнения (4.3) в виде ряда по степеням нового параметра
и полагга
можно получить следующие четыре независимых решения уравнения (4.3) в нулевом приближении:
где
Если воспользоваться асимптотическими выражениями для функций Ханкеля, то можно показать, что для весьма больших значений параметра
Далее в работе Лина иеследуются различные случаи расположения точки Чтобы получить какие-либо конкретные заключения о поведении разграничительной кривой (4.14), необходимо провести ряд упрощений вековых уравнений (4.16) и (4.18) для больших значений параметра потока не имеет точки перегиба. В результате своих подробных исследований Лин формулирует правила приближённого подсчёта наименьших значений критического числа Рейнольдса, за пределами которого может наступить неустойчивость ламинарного течения в указанном выше смысле. Прежде всего по заданному профилю распределения скоростей в потоке
надо составить следующее уравнение:
и решить его графически относительно
найти соответственное значение с. После этого определяется наименьшее значение критического числа Рейнольдса: для случая движения между параллельными стенками по формуле
а для случая течения в пограничном слое — по формуле
Для случая ламинарного течения между параллельными стенками разграничительная кривая (4.14), отделяющая область неустойчивости (внутри) от области устойчивости, представлена на рис. 100. Минимальное значение критического числа Рейнольдса для этого случая равно
Для случая течения в пограничном слое разграничительная кривая представлена на рис. 101, а наименьшее значение критического числа Рейнольдса для пограничного слоя на пластинке равно
В работе Скрэмстед и Шубауэра приведены результаты измерений пульсации в пограничном слое и на основании этих измерений были вычислены значения R и а, отвечающие началу потери устойчивости. Точки вычисленных значений R и а располагались достаточно близко к разграничительной кривой на рис. 101. В заключение следует отметить, что применению метода теории колебаний к исследованию устойчивости ламинарного течения было освящено большое количество печатных статей в различных журналах.
Рис. 100. Однако только в последних статьях Лина ценой весьма сложных вычислений удалось методом малых колебаний обнаружить потерю устойчивости ламинарных течений между неподвижными параллельными стенками и в пограничном слое при достаточно больших значениях числа Рейнольдса.
Рис. 101. Но потерю устойчивости ламинарных течений между параллельными стенками с прямолинейным профилем распределения скоростей и в цилиндрической трубе этим методом ещё не удалось обнаружить. Выполненные до сих пор теоретические исследования устойчивости ламинарного течения в цилиндрической трубе сводятся пока только к одному заключению, что это течение устойчиво по отношению к достаточно малым возмущениям.
|
1 |
Оглавление
|