§ 4. Об устойчивости ламинарных течений между параллельными стенками и в пограничном слое

В § 2 было указано, что исследование устойчивости ламинарного плоско-параллельного течения между параллельными стенками и в пограничном слое по методу малых колебаний сводится к решению дифференциального уравнения (2.9) для функции тока поля возмущения. Обозначая характерную скорость течения через U, характерный размер через I, вводя число Рейнольдса

и полагая

получим из (2.9) следующее дифференциальное уравнение четвёртого порядка для неизвестной функции поля возмущений:

Составляющие вектора скорости поля возмущений будут при этом равны:

    (4.4)

Для исследования устойчивости ламинарного течения между двумя неподвижный» стенками решение уравнения (4.3) необходимо подчинить граничным условиям прилипания частиц жидкости к стенкам. В этом случае за характерную скорость течения U можно взять максимальное значение скорости (y — h). Тогда распределение скоростей по сечению в безразмерных параметрах будет

представляться в виде

где

Учитывая равенства (4.4) и (4.6), можно записать условия прилипания частиц жидкости к стенкам в поле возмущений в виде

Для исследования устойчивости течения в пограничном слое решение уравнения (4.3) должно проводиться при выполнении условия прилипания к одной стенке

и при выполнении дополнительного условия на границе слоя, отражающего собой непрерывный переход решения уравнения (4.3) для вязкой жидкости в решение соответственного уравнения для идеальной жидкости. Уравнение поля возмущений для идеальной жидкости мы получим из (4.3), полагая

При этом предельном переходе мы получим из (4.3) уравнение

общее решение которого представляется в виде

Чтобы иметь ограниченное решение уравнения (4.9), необходимо постоянную приравнять нулю. Тогда требование непрерывности перехода решения уравнения (4.3) в решение уравнения (4.9) на границе слоя может быть представлено в виде равенств

Отсюда мы получим следующее дополнительное условие, которому необходимо подчинить решение уравнения (4.3) для случая исследования устойчивости течения в пограничном слое:

К условиям (4.8) и (4.10) присоединяется условие ограниченности решения при неограниченном возрастании переменного у, т. е.

Так как представляет собой аналитическую функцию от у, то четыре независимых решения уравнения (4.3) будут аналитическими функциями от переменного у и целыми функциями от трёх входящих в уравнение параметров и с. Параметр а представляет собой длину волны возмущения, а параметр R — число Рейнольдса; оба параметра должны быть действительными. Параметр же с, связанный со скоростью распространения волны возмущения и со степенью изменения со временем высоты гребня волны возмущения, может быть и комплексным, т. е.

Основная идея исследования устойчивости ламинарного течения сводится к тому, чтобы найти зависимость между этими тремя параметрами a, R и с:

Если эта зависимость будет разрешена относительно параметра с, то после отделения действительной и мнимой части будут получены равенства

Из равенств (4.4) следует, что исследуемое течение будет устойчивым для положительных значений и неустойчивым для отрицательных значений Следовательно, кривая

на плоскости параметров а и R будет разграничивать области устойчивых и неустойчивых течений. К построению такой разграничительной кривой и должна сводиться рассматриваемая задача об устойчивости ламинарных течений.

Такая зависимость между параметрами должна быть установлена с помощью четырёх независимых решений уравнения (4.3) и соответственных однородных граничных условий. Если независимые решения обозначить через то общее решение уравнения (4.3) представится в виде

Используя однородные граничные условия (4.7), мы получим однородную систему четырёх уравнений относительно постоянных Условие разрешимости этой системы уравнений даст нам

характеристическое или вековое уравнение

Это уравнение как раз и будет представлять собой зависимость (4.12) между параметрами a, R и с для случая ламинарного течения между параллельными неподвижными стенками.

Для течения в пограничном слое мы должны одно из независимых, например отбросить как не удовлетворяющее условию ограниченности решения (4.11). Следовательно, общее решение уравнения (4.3) в этом случае должно представляться в виде

Это общее решение должно удовлетворять граничным условиям (4.8) и (4.10). Но так как при приближении к границе слоя уравнение (4.3) должно вырождаться в уравнение (4.9), то на этой границе третье независимое решение должно оказаться несущественным и его можно отбросить при удовлетворении условию (4.10). В таком случае вековое уравнение для случая течения в пограничном слое будет:

Чтобы из вековых уравнений (4.16) и (4.18) получить уравнение разграничительной кривой (4.14) в конкретном виде, необходимо в явном виде построить четыре независимых решения уравнения (4.3); в этом-то и заключается основная математическая трудность рассматриваемой задачи об устойчивости ламинарных течений. Наиболее распространённым методом решения обыкновенного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами является метод представления решения по степеням соответственно выбранного малого параметра. Так как ламинарное течение теряет устойчивость при сравнительно больших значениях числа Рейнольдса, то в рассматриваемом случае в качестве малого параметра можно было бы выбрать отношение Но в уравнении (4.3) этот малый параметр входит множителем при старшей производной. Это обстоятельство создаёт дополнительные трудности в применении метода разложения решения по степеням малого параметра Эти трудности возникают,

во-первых, оттого, что в нулевом приближении мы получим дифференциальное уравнение второго порядка, а не четвёртого. Следовательно, в этом приближении можно построить только два независимых решения, а не четыре. Во-вторых, для дифференциального уравнения второго порядка точка для которой будет выполняться равенство

будет особой точкой, тогда как для полного уравнения (4.3) эта точка не будет особой. На это обстоятельство раньше не обращалось внимание исследователей; именно по этой причине и не удавалось обнаружить неустойчивость ламинарного течения между параллельными стенками. Наличие особой точки вынуждает по-особому выбирать путь соответственного интегрирования в плоскости комплексного переменного у при аналитическом продолжении дифференциального уравнения (4.3) на эту плоскость. Подробное исследование всех этих вопросов дано в цитированной выше работе Лина. Для проведения числовых вычислений в этой работе используется метод построения асимптотических решений уравнения (4.3), заключающийся в следующем.

Первые два независимых решения строятся путём непосредственного разложения решения по степеням параметра Полагая

подставляя это разложение в уравнение (4.3) и собирая коэффициенты при одинаковых степенях параметра, получим следующую последовательность дифференциальных уравнений второго порядка:

Дифференциальное уравнение (4.21) нулевого приближения, отвечающее полю возмущений без учёта сил вязкости, можно решить с помощью разложений по степеням параметра Этим путём можно получить два независимых решенля:

где

Последующие приближения могут быть найдены из уравнений (4.22) с помощью метода вариации произвольной постоянной через решения (4.23). Но при вычислениях, оказывается, можно обойтись и без последующих приближений.

Для построения других независимых решений уравнений (4.3) в асимптотической форме положим:

Подставляя (4.25) в уравнение (4.3), получим для g нелинейное дифференциальное уравнение

Будем решать это уравнение с помощью следующего ряда:

Собирая коэффициенты при одинаковых степенях параметра получим последовательность уравнений

Решения этих уравнений строятся без всяких квадратур. Первые два решения представляются в виде

Для определённости положим:

Для отрицательных значений разности w — с будем полагать или в зависимости от обстоятельств.

Обратим внимание на то, что если для уравнения (4.21) точка в асимптотическом решении (4.23) была логарифмической, то для решения (4.29) она будет алгебраической точкой ветвления. Если ограничиться первыми двумя членами в разложении (4.27), то для второй пары независимых решений уравнений (4.3) будем иметь:

Таким образом, четыре независимых решения уравнения (4.3) в первом приближении будут представляться в виде (4.23) и (4.30). Однако эти решения не могут быть непосредственно использованы, так как не выяснено поведение этих решений в окрестности точки и в зависимости от этого не установлен путь интегрирования в равенствах (4.24) и (4.30). Для выяснения этих вопросов в работе Лина вводится новое независимое переменное и новый малый параметр в виде

Представляя решение уравнения (4.3) в виде ряда по степеням нового параметра

и полагга

можно получить следующие четыре независимых решения уравнения (4.3) в нулевом приближении:

где

— функции Ханкеля.

Если воспользоваться асимптотическими выражениями для функций Ханкеля, то можно показать, что для весьма больших значений параметра решения (4.34) будут совпадать с решениями (4.23) и (4.30). При этом выбор асимптотических разложений для функций Ханкеля, подчинённый требованию совпадения решений (4.34) с (4.23) и (4.30), предопределяет путь интегрирования в равенствах (4.24) и (4.30). Для этого пути интегрирования должно выполняться неравенство

Далее в работе Лина иеследуются различные случаи расположения точки на плоскости комплексного переменного связи с этим выясняются асимптотические представления решений (4.30) и параллельно рассматриваются случаи, когда можно ограничиться решениями (4.23), не учитывающими действия сил вязкости. В частности, показывается, что при расположении точки ниже действительной оси эффектом вязкости Пренебрегать нельзя, как бы ни были велики числа Рейнольдса. Попутно доказывается ошибочность утверждения, что если есть решение уравнения (4.21) с собственным значением с, то сопряжённая функция будет представлять второе решение, удовлетворяющее тем же действительным условиям на действительной оси и имеющее в качестве собственного значения с, сопряжённое с первым с.

Чтобы получить какие-либо конкретные заключения о поведении разграничительной кривой (4.14), необходимо провести ряд упрощений вековых уравнений (4.16) и (4.18) для больших значений параметра Проводя эти упрощения, показывает, что разграничительная кривая (4.14) имеет две асимптоты при Эти две асимптоты сливаются в одну если профиль скоростей основного

потока не имеет точки перегиба. В результате своих подробных исследований Лин формулирует правила приближённого подсчёта наименьших значений критического числа Рейнольдса, за пределами которого может наступить неустойчивость ламинарного течения в указанном выше смысле. Прежде всего по заданному профилю распределения скоростей в потоке

надо составить следующее уравнение:

    (4.37)

и решить его графически относительно Затем необходимо из уравнения

найти соответственное значение с. После этого определяется наименьшее значение критического числа Рейнольдса: для случая движения между параллельными стенками по формуле

а для случая течения в пограничном слое — по формуле

Для случая ламинарного течения между параллельными стенками разграничительная кривая (4.14), отделяющая область неустойчивости (внутри) от области устойчивости, представлена на рис. 100. Минимальное значение критического числа Рейнольдса для этого случая равно

Для случая течения в пограничном слое разграничительная кривая представлена на рис. 101, а наименьшее значение критического числа Рейнольдса для пограничного слоя на пластинке равно

В работе Скрэмстед и Шубауэра приведены результаты измерений пульсации в пограничном слое и на основании этих

измерений были вычислены значения R и а, отвечающие началу потери устойчивости. Точки вычисленных значений R и а располагались достаточно близко к разграничительной кривой на рис. 101.

В заключение следует отметить, что применению метода теории колебаний к исследованию устойчивости ламинарного течения было освящено большое количество печатных статей в различных журналах.

Рис. 100.

Однако только в последних статьях Лина ценой весьма сложных вычислений удалось методом малых колебаний обнаружить потерю устойчивости ламинарных течений между неподвижными параллельными стенками и в пограничном слое при достаточно больших значениях числа Рейнольдса.

Рис. 101.

Но потерю устойчивости ламинарных течений между параллельными стенками с прямолинейным профилем распределения скоростей и в цилиндрической трубе этим методом ещё не удалось обнаружить. Выполненные до сих пор

теоретические исследования устойчивости ламинарного течения в цилиндрической трубе сводятся пока только к одному заключению, что это течение устойчиво по отношению к достаточно малым возмущениям.