§ 7. Главные серости удлинений

Возьмём на продолжении отрезка ОМ точку К и обозначим координаты этой точки относительно системы координат с началом О через Длину отрезка ОК обозначим через R. Тогда координаты точки К будут представляться в виде

Определяя отсюда и подставляя в формулу (6.5) для скорости абсолютного удлинения отрезка ОМ, получим:

Длину отрезка ОК будем выбирать так, чтобы левая часть (7.1) была постоянной и равной единице, т. е.

Правая часть (7.2) представляет собой величину, обратную относительной скорости удлинения отрезка ОМ. Используя (7.2), получим из (7.1) уравнение геометрического места точек К, квадрат расстояний которых до центра частицы О обратно пропорционален относительной скорости удлинения отрезка, совпадающего с направлением ОК, т. е.

Полученная поверхность второго порядка представляет собой поверхность деформаций в точке О. Направляющие косинусы нормали к этой поверхности будут пропорциональны частным производным от левой части (7.3) по соответственным координатам, которые будут представляться в виде

Рис. 6.

Сопоставляя правую часть (7.4) с правой частью (5.10) для вектора скорости перемещения, обусловленного только деформацией частицы, мы видим, что направляющие косинусы нормали к поверхности (7.3) пропорциональны проекциям вектора Следовательно, вектор скорости перемещения, обусловленного деформацией частицы, будет направлен параллельно нормали к поверхности деформаций в точке пересечения этой поверхности с продолжением отрезка ОМ (рис. 6).

Оси, для точек которых векторы скоростей перемещений, обусловленных деформацией частицы, будут направлены в точности по самим отрезкам ОМ, называются главными осями деформаций в точке О. Обозначая скорость деформации относительного удлинения

отрезка, направленного по главной оси, через , для скорости абсолютного удлинения и её проекций из (5.6) и (5.7) будем иметь:

Перенося в одну сторону и раскрывая сумму, получим:

Так как все не равны нулю, то определитель системы должен обращаться в нуль, т. е.

Из этого уравнения мы получим три значения е: Эти скорости деформаций относительных удлинений отрезков, направленных в точке О по главным осям деформации, называются главными скоростями удлинений в точке О. Главные оси деформаций ортогональны между собой. как в результате деформации частицы точки на главных осях смещаются только вдоль самих осей, то скорости деформаций сдвига по отношению к этим осям будут обращаться в нуль, т. е. взаимно ортогональные направления главных осей деформации не будут испытывать скошений прямого угла между ними.

На основании соотношения (7.2) и свойств центральной поверхности второго порядка можно заключить, что минимальное и максимальное значения скоростей относительных удлинений отрезков будут находиться среди главных скоростей удлинений.

Развёртывая определитель в левой части (7.6) по степеням а, получим:

где и Ей представляются в виде

Так как корни уравнения (7.7), определяющёго значения главных скоростей деформаций относительных удлинений, не должны меняться с изменением осей координат с началом в точке О, то и коэффициенты этого уравнения не должны меняться с поворотом осей координат. Эти коэффициенты, представленные через составляющие тензора скоростей деформаций соотношениями (7.8), называются инвариантами тензора скоростей деформации. Первый из этих инвариантов представляет собой скорость относительной объёмной деформации частицы.

Если из диагональных компонент тензора скоростей деформации (6.7) вычесть одну треть от скорости объёмной деформации, то получим девиатор скоростей деформации

Второй инвариант этого нового тензора, составленный аналогично тому, как был составлен после алгебраических преобразований будет представляться в виде

Найдём скорость деформации результирующего сдвига по площадке нормаль к которой наклонена к главным осям деформации под одним и тем же углом, т. е. имеет направляющие косинусы, равные

Подставляя в формулы (5.6) и (5.7)

получим:

Проекцию на нормаль скорости перемещения, обусловленного деформацией, мы получим, если правые части умножим на и сложим:

Тогда проекция этой скорости на перпендикуляр к нормали будет представляться в виде

Разделив эту скорость на отрезок получим скорость деформации результирующего сдвига в виде

Если за оси координат мы возьмём главные оси деформаций, то второй инвариант девиатора скоростей деформации будет представляться в виде

Таким образом, второй инвариант девиатора скоростей деформации пропорционален квадрату скорости деформации результирующего сдвига частицы, т. е.

Скорость деформации результирующего сдвига называется также интенсивностью скоростей деформации сдвига частицы.

Если воспользоваться главными скоростями деформаций, то формула (5.10), определяющая скорость смещения точки М за счёт деформации частицы представится в виде

Возьмём теперь отрезок ОМ, наклонённый к осям главных скоростей деформаций (1), (2) под углом в 45°, т. е. имеющий следующие направляющие косинусы:

При этих значениях направляющих косинусов из (7.14) будем иметь:

Проектируя этот вектор скорости на направление самого отрезка, получим скорость абсолютного удлинения в виде

В таком случае скорость смещения точки М за счёт сношения угла, т. е. за счёт деформации сдвига, будет представляться в виде

Разделив левую и правую части на получим скорость деформации сдвига на площадке, разделяющей угол между главными направлениями (1) и (2) деформаций на две равные части:

где через (Г) и (2) мы обозначили направления биссектрис углов между направлениями (1) и (2). Аналогично обстоит дело и со скоростями деформации сдвига на площадках, служащих биссектрисами направлений (2), (3) и (3), (1), т. е.

Величины называются главными скоростями сдвига. Следовательно, главные скорости деформации сдвига равны полусуммам главных скоростей удлинений соответственных отрезков. Так как среди значений имеется как минимальная скорость удлинения, так и максимальная, то разность именно этих главных скоростей удлинений будет давать максимальное значение скорости деформации сдвига.