§ 3. Дифференциальное уравнение для давления в слое

Дифференциальные уравнения (2.16) разрешаются весьма просто относительно скоростей. Так как давление не зависит от у, то в первом и третьем уравнениях можно провести интегрирование по переменному у. Интегрирование по переменному у можно провести и в уравнении несжимаемости. В результате этих интегрирований

мы получим следующие равенства для скоростей:

Входящие в эти равенства в общем случае могут считаться функциями переменных х и z.

Установим граничные условия для скоростей. По нашему предположению точки первой поверхности имеют скорость только в направлении оси х, т. е. граничные условия на первой поверхности будут представляться в виде

Точки второй поверхности имеют скорости по касательной и по нормали. Проектируя эти скорости на оси и и обозначая переменную толщину слоя через h, получим:

Тангенс угла наклона касательной х ко второй поверхности к оси х будет представляться в виде

В силу предположения о сравнительно малом искривлении второй поверхности можно положить:

При таком предположении граничные условия на второй поверхности будут представляться в виде

В предшествующем параграфе указывалось, что величина скорости должна быть малой величиной. Следовательно, произведение будет малой величиной второго порядка и им можно пренебречь.

Таким образом, граничные условия на второй поверхности будут окончательно представляться в виде

Используя граничные условия (3.2) и (3.3), получим:

Подставляя в (3.1) значения из (3.4), получим следующие выражения для скоростей:

Обратимся теперь к ещё неиспользованному соотношению (3.5). Вынесем за знак интеграла в правой части производные по х и z, но при этом учтём, что верхний предел является переменным. Учитывая условия (3.3), будем иметь:

Таким образом, соотношение (3.5) будет представляться в виде

На основании равенств (3.6) будем иметь:

Подставляя эти выражения в правую часть (3.7), получим следующее дифференциальное уравнение для давления:

В это дифференциальное уравнение (3.9) входит величина h, которая представляет собой толщину слоя и является заданной функцией от переменных х и 2. Таким образом, в дифференциальном уравнении для давления коэффициенты будут, как правило, не постоянными, а переменными. Для определённости решения этого уравнения необходимо задать граничные условия для давления по той, вообще говоря, замкнутой кривой, которая ограничивает рассматриваемый смазочный слой в плане на плоскости Простейшим граничным условием будет условие, при котором давление считается на этой кривой известным и постоянным, т. е.

    (3.10)