2.3. Возбуждение двух связанных осцилляторов внешней силой. Теорема взаимности

Пусть на систему двух связанных осцилляторов действуют внешние периодические силы. Тогда уравнения движения (2.6) с учетом (2.7) принимают вид

Вначале пусть Нас интересует вынужденное решение системы уравнений (2.24), т. е. . Подставляя его в (2.24), получаем откуда уравнения резонансных кривых можно представить в виде

( — детерминант, см. (2.10)). Резонансные кривые свидетельствуют о следующих интересных эффектах (рис. 2.6): 1) если частота внешней силы совпадает с одной из сооственных нормальных частот системы, наступает резонанс, и амплитуды колебаний в обоих осцилляторах неограниченно растут; 2) если частота внешней силы, действующей на первый осциллятор, совпадает с парциальной частотой второго осциллятора то первый осциллятор не колеблется это явление называется динамическим демпфированием; 3) при частоте внешней силы второй осциллятор не колеблется это явление имеет место только в том случае, если связь носит смешанный характер, т. е. есть как силовая (емкостная), так и инерциальная (индуктивная) связь; при происходит компенсация связи и колебания одного осциллятора не передаются другому.

Рис. 2.6. Зависимость амплитуд вынужденных колебаний X и Y от частоты внешней силы (резонансные кривые)

Заметим, что динамическое демпфирование часто используется на практике для гашения вредных колебаний [8]. Например, для уменьшения качки танкера при волнении на море в его танки закачивают воду, уровень которой подбирается таким образом, чтобы парциальная частота колебаний массы воды в танках приближалась к частоте ударов волны о борт (рис. 2.6). Тогда сам танкер качается существенно меньше.

Пусть теперь внешняя сила действует не на первый, а на второй осциллятор, т. е. . В этом случае, отыскивая, как и ранее, вынужденное решение (2.24), получаем

Из сравнения (2.25) и (2.26) следует важный вывод: при воздействии на один осциллятор внешней силы второй будет колебаться так же, как первый при воздействии внешней силы на второй. Это — известная теорема взаимности. Она справедлива для линейных систем с любым числом степеней свободы, в том числе и для распределенных систем, а с соответствующими изменениями в формулировке — и для сплошных сред. В электродинамике, например, теорема взаимности широко используется в теории антенн. В применении к идеализированным антеннам — элементарным колеблющимся диполям — ее можно сформулировать следующим образом [7].

Пусть диполь с электрическим моментом расположенный в точке 1, возбуждает электромагнитное поле а диполь находящийся в точке 2, — поле Тогда теорема взаимности выражается равенством

где — значение поля в точке нахождения диполя с электрическим моментом — значение поля в точке 2, где расположен диполь с электрическим моментом При равенстве абсолютных значений дипольных моментов диполь 2 воздействует на диполь 1 так же, как диполь 1 на диполь 2.

Если, например, соответствует передающей антенне, распоположенной вблизи земли, а нужно найти поле, создаваемое этим диполем высоко над землей, в точке 2, где находится летательный аппарат с приемной антенной на борту, то можно решить вспомогательную задачу, в которой передающая антенна — диполь — расположена в точке 2, а приемная антенна — в точке 1, и воспользоваться теоремой взаимности [7].