В проекциях на оси х и у вместо (12.18) получаем систему уравнений четвертого порядка:
В этой системе, казалось бы, должно быть два независимых адиабатических инварианта. Покажем, что в действительности эта система-ротатор эквивалентна осциллятору и имеет только один инвариант. Умножим уравнение (12.20) на 
и сложим его с (12.19); вводя новую комплексную переменную 
вместо (12.19) и (12.20) получаем одно комплексное уравнение
Сделаем теперь в (12.21) замену:
что дает 
Используя эти выражения в (12.21), приходим к уравнению гармонического осциллятора, собственная частота которого равна ларморовой частоте
Уравнение (12.22) отличается от (12.1), решение которого мы нашли, только тем, что теперь и — комплексная величина, но, поскольку для 
получаются одинаковые независимые уравнения, ни к чему новому это не приведет. Итак, 
Что теперь является адиабатическим инвариантом? Запишем 
видно, что инвариантом является величина 
. В чем физический смысл этого инварианта? Легко показать, что 
если 
. Последнее выполняется, т. е. 
изменяются во времени одинаково, поскольку уравнение (12.22) — уравнение с действительными коэффициентами. Но 
где 
— скорость поперечного вращения электрона. Таким образом, 
или 
, т. е. кинетическая энергия электрона меняется пропорционально амплитуде магнитного поля. Величина 
— также адиабатический инвариант, откуда 
но 
т. е. это уже известный нам инвариант. Мы пришли к интересному выводу: энергия электрона-осциллятора в медленно изменяющемся магнитном поле может сильно изменяться. Например, электрон-осциллятор может непрерывно отдавать высокочастотную энергию полю. Такое произойдет, если квазистатическая составляющая поля будет медленно уменьшаться во времени.
. Пусть теперь магнитное поле 
направленное вдоль оси 
медленно изменяется за циклотронный период 
. Переменное магнитное поле индуцирует электрическое поле 
(формула написана в системе единиц, где скорость света 
— единичный вектор в направлении 
Уравнение движения 
с учетом выражений для 
и Е имеет вид
