7.3. Абсолютная и конвективная неустойчивости. Метод характеристик

Определить характер поведения произвольного возмущения (сносится ли возмущение в каком-то направлении по х либо расширяется, захватывая новые области в и -направлениях), не анализируя конкретных решений типа (7.1), а используя лишь дисперсионное уравнение системы — в общем случае задача весьма трудная. Однако для широкого класса распределенных систем, а именно систем, описываемых уравнениями в частных производных гиперболического типа, это можно сделать сравнительно просто (заметим, что гиперболическими уравнениями описываются и колебания в системе связанных маятников (см. рис. 7.2 и 7.3), и невязкий гравитирующий газ, и многие другие очень важные системы). Для таких систем поставленная задача решается просто — нужно лишь определить на плоскости границы области

Рис. 7.5. Связь характеристик гиперболических систем (плоскость ) с асимптотами соответствующих дисперсионных уравнений (плоскость ) в случае абсолютной неустойчивости для двухволновых систем (1, 2 — характеристики разных семейств; 3 — область распространения возмущения; 4 — область начального возмущения) рисунки, поясняющие развитие в системе абсолютной неустойчивости

распространения возмущения (рис. 7.5), совпадающие с характеристиками системы, которые имеют максимальный и минимальный наклоны. Простейший пример гиперболического уравнения мы уже хорошо знаем — это обычное волновое уравнение Здесь два семейства характеристик: Первое семейство соответствует возмущениям, распространяющимся вправо, а второе — возмущениям, двигающимся влево. Поскольку в данном случае система линейна, произвольное возмущение (являющееся их суперпозицией) будет расширяться и в и в -направлениях. Таким образом, если мы «организуем» в подобной системе неустойчивость (формально это можно сделать, добавив в левую часть уравнения слагаемое то эта неустойчивость будет абсолютной — область распространения захватывает оба полупространства (и левее, и правее начальной области на оси х (рис. 7.5)). Таким образом, неустойчивость однородного гравитирующего газа (неустойчивость Джинса) и неустойчивость в генераторе обратной волны — это абсолютные неустойчивости.

Характеристики гиперболических систем оказываются связанными

с асимптотами дисперсионных кривых соответствующей линеаризованной задачи. Характеристики и асимптоты одинаково наклонены соответственно на плоскостях Благодаря этому для гиперболических систем, для которых число асимптот с конечным наклоном совпадает с числом нормальных волн, можно уже по виду дисперсионных кривых сказать, будет ли неустойчивость абсолютной или конвективной. Если угловые коэффициенты асимптот дисперсионных кривых имеют противоположные знаки, то неустойчивость абсолютная (рис. 7.5), если они имеют одинаковые знаки, то неустойчивость конвективная (рис. 7.6).

В первом случае область распространения будет, как на рис. 7.5 а, а во втором — как на рис. 7.6 а.

Рис. 7.6. Связь характеристик гиперболических систем (плоскость с асимптотами соответствующих дисперсионных уравнений (плоскость в случае конвективной неустойчивости для двухволновых систем (1-4 имеют тот же смысл, что и на рис. 7.5) (а, б); рисунки, поясняющие развитие в Системе конвективной неустойчивости (е)

Приведем здесь элементарные сведения из теории характеристик [12, 13]. Запишем систему исходных уравнений в виде

где переменные, описывающие нашу систему, а нелинейные функции от Уравнения типа (7.32) обычно называют квазилинейными. Они не содержат нелинейных функций относительно производных. Будем называть характеристиками линии на плоскости ограничивающие так называемую область влияния. Если возмущение задано на некоторой дуге в плоскости то оно влияет на решение системы (7.32) лишь в области, ограниченной характеристиками, проходящими через точки А и В. Поскольку характеристика отделяет возмущенную область от невозмущеиной, то, задав все величины вдоль характеристик (т. е. известны лишь невозможно с помощью уравнений (7.32) однозначно определить нормальные к характеристикам производные Исходя из этого будем искать уравнение характеристик. Обозначая тангенс угла наклона характеристик к оси через V, выразим через

После подстановки этих производных в (7.32) имеем

Это линейная неоднородная система относительно с известной правой частью. Чтобы из этих уравнений нельзя было определить необходимо, чтобы определитель ее равнялся нулю:

( — символ Кронекера). Это и есть искомое уравнение для характеристик. Поскольку это многочлен порядка относительно V, мы найдем наклон семейств характеристик. Если система линейна и щи не зависят от и, то характеристики — это прямые линии на плоскости наклон которых равен , где — корни уравнения

Линеаризованная система (7.32) описывается дисперсионным уравнением

Легко заметить, сравнивая (7.35) с (7.34), что в асимптотике при наклон дисперсионных кривых совпадает с наклоном характеристик.

Определим с помощью критерия, основанного на оценке расположения асимптот, вид неустойчивости в системе из двух взаимопроникающих, двигающихся вдоль х электронных потоков. Их дисперсионные характеристики представлены на рис. 7.8 для встречных потоков и на рис. 7.10 в для попутных. В первом случае угловые коэффициенты асимптот имеют противоположные знаки и, следовательно, имеющаяся в этой системе неустойчивость — абсолютная, во втором — конвективная.