6.2. Критерий Рауса-Гурвица и трехмерные системы

Для сосредоточенной системы с постоянными параметрами отклонение переменных от состояния равновесия удовлетворяет уравнению

где все действительные и Нужно исследовать на устойчивость решение уравнения (6.5). Состояние равновесия исходной системы устойчиво, если при Будем искать решение (6.5) в виде — комплексный параметр). Подставляя его в (6.5), получаем характеристическое уравнение

корни которого определяют характер решения.

Уравнение (6.6) имеет корней Птрт. Задача об устойчивости сводится, таким образом, к оценке расположения корней на комплексной плоскости Если все корни расположены в левой полуплоскости (слева от мнимой оси), то с ростом отклонение х будет уменьшаться как , следовательно, состояние равновесия экспоненциально устойчиво. Если имеется хоть один корень в правой полуплоскости, то равновесие неустойчиво. Важно, что оценку расположения корней можно сделать, не решая уравнения (6.6). Связь месторасположения корней с коэффициентами уравнения — это чисто алгебраическая проблема, и известно довольно много способов оценки действительной части корней характеристического уравнения по коэффициентам полинома [3, 4]. Наиболее распространенными и удобными среди них являются критерий Рауса-Гурвица и метод D-разбиений.

Критерий устойчивости Рауса-Гурвица заключается в следующем. Для того чтобы все корни уравнения (6.6) имели отрицательные действительные части т. е. все корни многочлена лежали слева от мнимой оси), необходима и достаточна положительность всех главных диагональных миноров матрицы Гурвица

Структура матрицы Гурвица такова: по главной диагонали расположены коэффициенты (от до ) уравнения (6.6); столбцы содержат поочередно коэффициенты только с нечетными или только с четными индексами (включая все недостающие элементы (коэффициенты с индексами, меньшими нуля или большими ) заменяются нулями. Главные диагональные миноры матрицы Гурвица имеют вид

(кликните для просмотра скана)

Таблица 6.1 (продолжение) (см. скан)

Следовательно, критерий устойчивости Рауса-Гурвица сводится к следующему требованию:

Применим этот критерий к исследованию корней уравнения которое является характеристическим уравнением для линейного осциллятора (1.1). Условия (6.8) сводятся к условию положительности коэффициентов

Для уравнения третьего порядка

одной положительности коэффициентов для устойчивости равновесия

уже недостаточно. Действительно, записав определитель Гурвица, найдем главные миноры: . Все миноры будут положительными, если . При невыполнении одного из указанных условий (положительность коэффициентов, или состояние равновесия неустойчиво. Из табл. 6.1 видно, что характер возникающей неустойчивости существенно зависит от параметров.

Число «устойчивых» («неустойчивых») корней определяет размерность так называемого устойчивого (неустойчивого многообразия, на котором вблизи состояния равновесия расположены приближающиеся к нему (уходящие от него) траектории. Когда эти многообразия двумерны, мы видим на них привычные нам устойчивые (неустойчивые) узлы или фокусы. Будут на этих многообразиях узлы или фокусы, зависит от знака дискриминанта

При будут узлы; при — фокусы.