19.2. Уединенные волны — солитоны

Рассмотрим среду без диссипации Пусть пока нелинейность в среде квадратична, т. е. тогда вместо (19.1) будем искать уравнение, полученное Кортевегом и де Вризом для волн на поверхности жидкости:

Решения этого уравнения сейчас изучены очень подробно, в том числе и нестационарные, но мы будем обсуждать только самые простые из них, дополнив обсуждение качественными соображениями. Прежде всего поразмышляем над тем, к чему может привести добавление к уравнению простой волны слагаемого, описывающего дисперсионное расплывание. Как мы уже знаем, дисперсионное расплывание может компенсировать процесс опрокидывания волны, и тогда ее профиль стабилизируется, т. е. возможно существование стационарных бегущих волн, профиль которых не меняется во времени. Такие волны определены во всем пространстве и бегут с постоянной скоростью V, т. е. все переменные в волне являются функцией бегущей координаты Для них т. е. стационарные волны уравнения (19.14) описываются уравнением в обыкновенных производных или после интегрирования,

Таким образом, стационарным волнам уравнения Кортевега-де Вриза соответствует уравнение консервативного нелинейного осциллятора. Постоянную будем считать равной нулю (это всегда можно сделать, введя полую переменную), тогда уравнение (19.15) представляется в виде где Потенциальная энергия стационарных волн и их фазовый портрет приведены на рис. 19.6.

Существуют различные классы решений уравнения Кортевега-де Вриза. Можно выделить два из них.

1. Квазисинусоидальные колебания с малыми амплитудами (фазовые траектории вблизи состояния центра); для них нелинейность почти не сказывается (рис. 19.7 а).

2. Движение вблизи сепаратрисы и по самой сепаратрисе. Именно эти сильно нелинейные волны и представляют для нас интерес. Периодические движения вблизи сепаратрисы (рис. 19.76) называются кноидальными волнами. Сепаратрисе соответствует локализованное в пространстве решение в виде одиночного возвышения или уединенной волны — солитона (рис. 19.7 в) с амплитудой Это решение аналитически записывается в виде

где — характерная ширина солитона. Справедливость решения легко проверить прямой подстановкой его в уравнение (19.15) при

Рис. 19.6. Потенциальная энергия и фазовый портрет стационарных волн. Состояние равновесия центр. Солитон соответствует сепаратрисе

Рис. 19.7. Различные классы решений уравнения Кортевега-де Вриза и их соответствие фазового портрету стационарных волн: а — квазисинусоидальные колебания малой амплитуды — вблизи состояния центра; — кноидальные волны (периодические солитонные решетки) — вблизи сепаратрисы; в — солитон (уединенная волна) — сепаратриса

Используя при подстановке тождество получаем

Отсюда можно найти . Тождество (19.16) выполняется при любых , следовательно, коэффициенты при одинаковых степенях должны быть равны, т. е.

Итак, мы получили: — чем выше солитон, тем он уже; — чем солитон шире, тем он медленнее бежит и тем меньше его амплитуда. Таким образом, ширина, скорость и амплитуда солитона, описываемого уравнением Кортевега-де Вриза, однозначно связаны, т. е. семейство решений в виде солитонов однопараметрическое — меняем, например, V, получаем разные солитоны.

Почему солитоны, т. е. частные виды стационарных волн, интересны? Фактически по тон же причине, что и другие стационарные волны:

нестационарные возмущения довольно широкого класса в процессе распространения асимптотически приближаются к солитону! Экспериментально этот факт был обнаружен давно; еще более ста лет назад Скотт-Рассел наблюдал солитон и поэтично описал его [10].

Новая жизнь солитона — одного из самых привлекательных объектов современной физики — в значительной степени связала с построением точных решении многих уравнений нелинейной теории волн. При их построении большую роль сыграл так называемый метод обратной задачи рассеяния [11]. Этот метод берет начало от работы Гарднера, Грина, Крускала и Миуры [21], которые в 1967 г. установили связь между уравнениями Кортевега-де Вриза и Шредингера. Поясним кратко суть этой связи. Как известно [14], уравнение Шредингера в случае, когда потенциал положительно определен и спадает до пуля при имеет финитные решения, стремящиеся вместе со своими производными к нулю на бесконечности, а спектр собственных значений дискретен. Рассмотрим уравнение Шредингера

где зависит от времени как от параметра. Тогда и собственные значения, вообще говоря, будут зависеть от Покажем, что собственные значения не будут зависеть от если функция удовлетворяет уравнению Кортевега-де Вриза (точнее, если — любое положительно определенное решение уравнения Кортевега-де Вриза, спадающее на , то соответствующий ему спектр собственных значений остается неизменным). Из уравнения (19.17) находим

Подставим это выражение в уравнение (19.14). После вычислений получим

где штрихи означают соответствующие производные по х.

Проинтегрируем левую и правую части (19.18) по х от до При этом правая часть получившегося уравнения обратится в нуль,

поскольку собственные функции (вместе со своими производными) дискретного спектра уравнения Шредингера исчезают на бесконечности. Таким образом,

Поскольку в силу нормировки то Так как решение произвольно, спектр нам неизвестен. Покажем теперь, что если — солитон, то уравнение Шредингера имеет единственное собственное значение. Когда — солитон, уравнение (19.17) принимает вид

Здесь Дискретные собственные значения уравнения Шредингера даются формулой (см. [14], § 23, задача 4)

где причем должно быть Подставляя в выражение для выписанные выше значения и а, получим т. е. существует единственное собственное значение Итак, мы получили, что: а) спектр собственных значений не зависит от хотя изменяется со временем; б) каждому собственному значению соответствует солитон. Отсюда следует вывод: любое локализованное положительное возмущение представляет собой набор солитонов и, если достаточно долго подождать, эти солитоны сформируются и возмущение превратится в последовательность солитонов, выстроившихся по амплитуде (рис. 19.8 в). Поскольку «соли-тонный состав» — набор солитонов, из которых состоит возмущение — не зависит от времени, солитоны могут лишь меняться местами в пространстве. Число солитонов зависит от формы начального возмущения; вершины их лежат на одной прямой, так как расстояние, пройденное каждым солитоном, пропорционально его скорости, а последняя, как мы уже знаем, пропорциональна амплитуде.

Такой метод решения уравнения Кортевега-де Вриза называется методом обратной задачи рассеяния, поскольку мы решаем задачу на собственные значения для уравнения Шредингера с потенциалом где играет роль параметра. В квантовомеханическом

Рис. 19.8. Эволюция начального возмущения при различных значениях параметра характеризующего отношение нелинейности и дисперсии в системе: а — преобладает дисперсионное расплывание; вначале имеет место тенденция к опрокидыванию, но из-за дисперсии возмущения с разными длинами волн разбегаются и возмущение разбивается на короткие импульсы; в — результаты численного моделирования [15] (изображен один период)

уравнении — уровень энергии, волновая функция. Прямая же квантовомеханическая задача рассеяния — это решение уравнения (19.17) с заданным потенциалом и. Оно позволяет рассчитать, например, коэффициент отражения волны (волна определяется зависящей от координаты волновой функцией Ф), падающей из бесконечности на потенциальный рельеф Если падающая из бесконечности волна плоская с единичной амплитудой, то амплитуда отраженной волны называется коэффициентом отражения. Мы искали сам потенциал. Это и есть решение обратной задачи квантовой теории рассеяния: по известному

коэффициенту отражения восстанавливается потенциальный рельеф Подробно метод обратной задачи рассеяния изложен в [10-12].

Поясним, почему солитон является устойчивым возмущением. Введем безразмерный параметр Этот параметр характеризует отношение нелинейности к дисперсии в системе, так как чем больше амплитуда тем сильнее сказывается нелинейность, а характеризует высокочастотную дисперсию. Для солитона т. е. эффекты нелинейной эволюции и дисперсионного расплывания как раз уравновешивают друг друга. При (рис. 19.8 а) возмущение с резким фронтом ведет себя, как в линейной диспергирующей среде. Для него основной эффект — появление сравнительно длинноволновых осцилляций, что приводит к увеличению , следовательно, а, т. е. к установлению волны с При дисперсионные эффекты несущественны: основную роль играет нелинейность, приводящая к формированию коротких импульсов, и лишь потом сказывается дисперсия, уравновешивающая процесс (рис. 19.86). Именно так начальное возмущение большей амплитуды распадается на последовательность солитонов, вершины которых лежат на одной прямой (на рис. 19.8 в приведены результаты численных расчетов, взятые из работы [15]).