2.2. Свободные колебания двух связанных осцилляторов

Изложим общую теорию малых колебаний двух связанных осцилляторов — линейной консервативной системы с двумя степенями свободы [3], для описания которой следует ввести две обобщенные координаты х и у. Уравнения движения такой системы удобно записать в лагранжевой форме [4]:

где — обобщенные непотенциальные силы (для консервативных систем — это внешние силы, действующие на систему).

Для анализируемой системы функция Лагранжа имеет вид

где

суть кинетическая и потенциальная энергии системы, Н и — коэффициенты инерциальной и силовой связи.

Для автономной системы уравнения (2.6) с учетом (2.7) можно записать следующим образом:

Ограничимся случаем, когда Т и V — положительно определенные квадратичные формы (это не выполняется, например, для системы, изображенной на рис. 2.2 а). Необходимым и достаточным условием положительной определенности является выполнение неравенства

Рис. 2.2. Пример двух связанных маятников, для которых не выполняются условия положительной определенности Т и V (а), и зависимость при условии положительной определенности (б)

Полагая, как обычно для линейных систем, что после подстановки в (2.8) находим

Для того чтобы система однородных уравнений (2.9) имела нетривиальное решение, необходимо обращение в нуль ее детерминанта

Из этого условия получаем следующее характеристическое уравнение для определения нормальных (собственных) частот системы:

Условия положительной определенности Т и V графически означают, что всегда есть две точки пересечения параболы с осью абсцисс (рис. 2.2 б). Они соответствуют двум нормальным частотам системы . Легко убедиться, что путем линейного преобразования от координат х и у можно перейти к новым координатам называемым нормальными, в которых система уравнений (2.8) запишется как уравнения двух независимых осцилляторов:

Таким образом, любую консервативную линейную систему с степенями свободы можно представить в виде набора невзаимодействующих осцилляторов. Это означает, что линейная консервативная система с постоянными параметрами полностью характеризуется спектром нормальных частот (разумеется, чтобы иметь решение, надо задать начальные условия).

Нормальные частоты, характеризующие связанные осцилляторы, разумно сравнивать с парциальными частотами. Напомним, что парциальной системой, соответствующей данной координате, является система, получаемая из исходной «закреплением» всех остальных координат (на рис. 2.1 а положить равным нулю ток в катушке и напряжение на конденсаторе в одном из контуров, на рис. 2.1 е нужно закрепить один из маятников). Выбор парциальной системы определяется выбором координат (и наоборот). Уравнения для нахождения парциальных частот можно получить, например, из (2.8), убрав из них слагаемые, выражающие связь между системами, т. е. «занулив» коэффициенты связи Тогда и парциальные частоты равны Каково соотношение между парциальными и нормальными частотами? Из рис. 2.2 б ясно, что если то частоты лежат между и Для парциальных частот

т. е. парциальные частоты всегда лежат между нормальными

Итак, введение связи в консервативную систему может лишь увеличить интервал между собственными частотами линейной системы. Этот результат весьма важен, например, для определения констант колебаний молекул, которые характеризуются парциальными частотами. Наблюдается же спектр нормальных частот, поскольку любое исследуемое вещество представляет собой ансамбль связанных систем. Поэтому следует делать поправку на связь подсистем. Полученный нами результат об удалении собственных частот друг от друга при введении связи позволяет оценить расположение искомых парциальных частот.

Рис. 2.3. Увеличение интервала между собственными частотами системы из двух одинаковых маятников при введении связи

В качестве примера вернемся к более подробному рассмотрению двух связанных — симпатических маятников, колебания которых описываются системой уравнений (2.3) при Закрепив одну из координат, определим парциальные частоты из соотношений Таким образом, при данном выборе подсистем парциальные частоты равны. Чтобы выяснить, как маятники будут влиять друг на друга, попытаемся «угадать» нормальные колебания. Введем новые переменные . В этих координатах система уравнений (2.3) при переходит в уравнения двух независимых осцилляторов:

Следовательно, нормальные частоты суть т. е. интервал между собственными частотами системы при введении связи действительно увеличивается (рис. 2.3), поскольку Если то и оба маятника будут двигаться с «невозмущенной» частотой а пружина в этом случае не работает (синфазные колебания на рис. 2.4 а). Если то а маятники движутся в противофазе с частотой которая увеличилась из-за действия пружины (противофазные колебания на рис. 2.4 б). Когда связь слабая, ее естественно можно рассматривать как малое возмущение, а совместные колебания осцилляторов — как взаимодействие между ними. При условии слабой связи а решения

Рис. 2.4. Синфазные (а) и противофазные колебания двух одинаковых маятников уравнений (2.12) имеют вид

Пусть при выполняются равенства а одному из маятников сообщена скорость так что, поскольку Из соотношений (2.13) при таких начальных условиях находим, что

Нас интересует поведение каждого маятника, поэтому перейдем к исходным переменным:

Окончательно имеем

При выводе (2.14) мы пренебрегли по сравнению с единицей. В силу малости величины маятники совершают колебания с частотой амплитуда которых медленно изменяется. Получились биения (рис. 2.5). Нетрудно видеть, что, например, при первый маятник будет неподвижен в пренебрежении слагаемыми, содержащими и вся энергия перейдет ко второму маятнику.

Рис. 2.5. Биения двух одинаковых связанных осцилляторов при слабой связи

Таким образом, связь приводит к тому, что происходит периодический обмен энергией между осцилляторами, причем период перекачки зависит от связи (полная перекачка энергии между осцилляторами имеет место через время, кратное . При малом значении а мала энергия взаимодействия, т. е. энергия, вносимая одним осциллятором в другой; но даже при сколь угодно малой связи будет происходить полный обмен энергией. Правда, период перекачки будет при этом неограниченно расти Казалось бы, при а энергообмен должен прекращаться, а он просто замедляется. Дело здесь опять в резонансе: парциальные частоты маятников одинаковы, поэтому воздействие сколь угодно малой связи приводит к перекачке — эффективному обмену энергией. Такой резонанс называют внутренним резонансом (см. гл. 18), имея в виду, что взаимодействуют подсистемы одной системы.

При сколь угодно слабая связь влиять уже не будет. Поэтому для определения степени взаимодействия осцилляторов вводят параметр, учитывающий как связь, так и близость парциальных частот. Этот параметр называют связанностью и определяют формулой

В ряде случаев уравнения движения анализируемой системы удобно представить в специальных формах, называемых формой связанных колебаний и формой нормальных колебаний [5]. Остановимся кратко на их получении.

Умножим второе уравнение из (2.1) на и результат сложим с первым уравнением из (2.1). Это дает

или

где

Все необходимые тождественные преобразования проделаем лишь с первым уравнением из (2.15):

Вводя по аналогии с (2.16)

окончательно получим

где коэффициенты имеют вид

Предоставляя читателю проделать аналогичные преобразования с другими уравнениями, выпишем окончательный результат в матричной форме:

причем

Запись (2.19) называется формой связанных колебаний [5]. Этим названием подчеркивается, что коэффициенты связи к связывают нормальные колебания изолированных маятников. Отыскивая решение (2.19) в виде получаем систему алгебраических уравнений для условие совместности которой приводит к характеристическому уравнению

Корни этого уравнения суть частоты нормальных колебаний системы двух связанных маятников. При получении (2.19) и (2.20) мы не делали никаких допущений, кроме предположения о малости амплитуд и о гармоническом изменении координат во времени. В этом смысле уравнения (2.20) и (2.10) равнозначны. В гл. 1 отмечалось, что нормальные колебания и а можно наглядно представить двумя векторами одинаковой длины, которые вращаются в разные стороны. Но тогда естественно предположить, что колебания, соответствующие противоположно вращающимся векторам, связаны слабо, т. е. в уравнениях (2.19) можно пренебречь всеми слагаемыми, связывающими . Интуитивно ясно, что для реальности таких допущений нужно, чтобы осцилляторы были слабо связаны: энергия связи должна быть малой по сравнению с потенциальной энергией каждого осциллятора, т. е. . Кроме того, связанность осцилляторов должна быть большой. (Значительная часть энергии от одного осциллятора будет передаваться другому.) Для этого нужно, чтобы Тогда из (2.19) получим

и два аналогичных уравнения для а из (2.20) —

Решая (2.22) с учетом приведенных выше значений для связанной системы, которой соответствуют уравнения (2.21), находим

следующие частоты нормальных колебаний:

При из (2.23) получаем что совпадает с ранее полученными выражениями. Системе уравнений для соответствуют нормальные частоты —

Решения (2.23) могут быть получены непосредственно из (2.20) при выполнении условий Таким образом, пренебрежение в (2.19) слагаемыми, связывающими и а, действительно эквивалентно предположениям о слабой связи и большой связанности.

Часто используется также другой общий метод нахождения иной формы уравнений для системы связанных осцилляторов — формы нормальных колебаний. Не останавливаясь на деталях, сформулируем суть метода в виде теоремы (см. [5]).

Для системы связанных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

существует линейное преобразование переменных X к переменным Y (где — постоянная матрица), приводящее систему уравнений к виду

где — матрица, элементы которой, лежащие на главной диагонали, — нормальные частоты колебаний, а элементы матрицы Y — амплитуды нормальных колебаний.

Заметим, что, как и в случае одиночного осциллятора, имеется аналогия с квантовой механикой, форма связанных колебаний аналогична рассмотрению двух связанных осцилляторов с помощью операторов рождения и уничтожения [6].

Если говорить о математическом подходе, наиболее удобном для анализа колебаний связанных осцилляторов, то в случае слабой связи предпочтение следует отдавать, по-видимому, форме связанных колебаний.