21.3. Стационарные волны

Наличие дисперсии в области высоких частот (малых масштабов) приведет к тому, что высшие гармоники начального возмущения не будут находиться в синхронизме с основной волной, и спектр нелинейной волны будет ограничен. Проследить аналитически за эволюцией волны в активной нелинейной среде с дисперсией, к сожалению, не удается, поскольку даже простейшие из уравнений, описывающих распространение волн в таких средах, не решаются. Особый интерес поэтому представляет исследование стационарных волн — волн, распространяющихся с постоянной скоростью и без изменения формы, которые

устанавливаются в результате конкуренции между действующими нелинейностью и дисперсией.

Учтем теперь высокочастотные потери (мнимая дисперсия), т. е. обратимся к уравнению (21.2). В этом случае, очевидно, фронт сгладится. Для решения уравнения воспользуемся приближением стационарных волн. Заметим, что в автоколебательных системах (речь идет о кольцевых либо безграничных системах) стационарным волнам принадлежит, по-видимому, особая роль, подобная роли предельных циклов в сосредоточенных системах. Это удобно пояснить с помощью спектрального подхода, в рамках которого стационарную волну можно рассматривать как сумму гармонических волн, амплитуды и фазы которых связаны друг с другом алгебраически, т. е. стационарной волне можно поставить в соответствие равновесное состояние системы уравнений для комплексных амплитуд гармоник.

Период установившейся стационарной бегущей волны определяется либо граничными, либо начальными условиями. Скорость стационарных волн зависит от нелинейных и дисперсионных свойств среды и является параметром, разным значениям которого соответствуют разные типы стационарных волн. Однако в отдельных случаях периодические волны в неравновесных средах могут распространяться лишь с одной определенной скоростью.

Перейдем в уравнении (21.2) к бегущей координате где V — скорость распространения стационарной волны, тогда уравнение запишется следующим образом:

Это уравнение описывает стационарную бегущую волну. По форме оно совпадает с уравнением сосредоточенного нелинейного осциллятора с затуханием Ясно, что интересующие нас периодические решения существуют лишь при . Фазовый портрет системы для этого случая приведен на рис. 21.3. Автоколебаниям в виде периодических стационарных волн соответствует непрерывный континуум замкнутых траектории. Амплитуда такой волны определяется ее периодом. Сведение задачи об автоколебаниях в распределенной системе к исследованию уравнения нелинейного осциллятора, привычного для консервативных систем, кажется парадоксальным. Этот факт, однако, имеет простое физическое объяснение. Дело в том, что энергетический баланс между процессами диссипации и отбора энергии у активной среды в данном случае выполняется сразу для непрерывного множества стационарных волн, распространяющихся со скоростью Это возможно

лишь при отсутствии в среде реактивной дисперсий, которая приводит к зависимости амплитуды периодической волны от ее скорости.

Наличие в системе (рис. 21.3) сепаратрис, идущих из седла в седло, означает, что в ней могут распространяться стационарные перепады или импульсы с конечной шириной фронта (рис. 21.4) — диссипативные солитоны.

Рис. 21.3. Фазовый портрет системы, описывающей стационарные волны в нелинейной активной среде с мнимой дисперсией

Рис. 21.4. Стационарный перепад или импульс с конечной шириной фронта, соответствующий сепаратрисам, идущим из седла в седло

Амплитуда и форма периодической волны определяются ее периодом (краевыми условиями) и видом нелинейности. Например, в линии передачи с туннельными диодами, рабочая точка которых находится на падающем участке характеристики близко к максимуму, нелинейность квадратична (в уравнении (21.4) вместо будет и стационарные волны могут иметь вид последовательности солитонов или кноидальных волн. Примерами солитонов в неравновесной диссипативной среде могут служить волны на тонкой пленке воды, стекающей по наклонной асфальтовой мостовой. Такие волны развиваются из-за неустойчивости и стабилизируются поверхностным натяжением; крутизна фронта волны увеличивается благодаря действию нелинейности (см. гл. 24).

Рассмотрим общий одномерный случай, когда в среде присутствуют и нелинейные потери, и нелинейная реактивность (емкость). Уравнение для волн в такой среде имеет вид (21.3):

Упростим немного задачу, предположив, что неконсервативная и диссипативная нелинейности действуют при разных значениях . Пусть пока отсутствует диссипативная нелинейность, т. е. пренебрежем мало). Тогда реактивная нелинейность проявляется при малых, а активная — при больших амплитудах. Ограничимся опять рассмотрением стационарных волн:

(заметим, что это уравнение при некоторых упрощающих предположениях описывает периодическое изменение численности популяции при совместном проживании жертв и хищников). Если , то в такой системе все возмущения затухают; если же , то при наоборот, возмущение нарастает. Чтобы движения были финитными, необходимо, чтобы действие этих двух факторов уравновесилось. Это, очевидно, возможно лишь при При как нетрудно убедиться, при При получается следующее уравнение:

Это уравнение легко проинтегрировать, полагая, что Уравнение интегральных кривых имеет вид

Из соотношения (21.5) видно, что существует интегральная прямая, являющаяся фазовой траекторией: Из (21.6) получим

где — значение при . Фазовый портрет этой системы представлен на рис. 21.5 а. Волны с большой амплитудой имеют участок медленных изменений — на фазовой плоскости ему соответствует движение вблизи прямой — и участок быстрых изменений — на фазовой плоскости ему соответствует движение по уходящей далеко вниз петле.

Обсудим теперь соответствующий этой ситуации эксперимент — подадим на вход среды, описываемой уравнением (21.4), синусоидальную волну. На достаточно большом расстоянии от границы эта волна станет близкой к стационарной, и ее можно описывать с помощью (21.5) на фазовой плоскости рис. 21.5 а. При движении изображающей точки по траектории типа 1 вблизи функция меняется как , т. е. растет линейно, а движению по замкнутой траектории, которое происходит очень быстро, соответствует крутой передний фронт волны — волна превращается в пилообразную (рис. 21.5б).

Легко сообразить, что если мы будем подавать на вход линии передачи, в которой волны описываются уравнением (21.4) высокочастотные колебания, то при они вообще будут затухать, затем

Рис. 21.5. Фазовый портрет (а) и форма стационарных волн (б), описываемых уравнением (21.5)

с уменьшением превратятся в незатухающие волны синусоидальной формы, и только достаточно низкочастотные волны будут пилообразными.