6.3. Метод D-разбиений

Критерий Рауса-Гурвица не всегда удобен для определения устойчивости. Так, для больших значений приходится проделывать слишком громоздкие вычисления определителей и, следовательно, трудно записать условие устойчивости в общем виде. Кроме того, если система неустойчива, то трудно сказать, сколько имеется корней с положительной действительной частью, т.е. каков порядок неустойчивости. Хорошо бы иметь критерий, свободный от этих недостатков, который мог бы быть обобщен на распределенные системы (левая часть характеристического уравнения которых не полином, а квазиполином, т.е. полином по Для построения такого критерия удобен метод D-разбиений. Он заключается в следующем.

Пусть в характеристическое уравнение входит параметр , т. е. Нам надо знать, как при изменении А меняется порядок неустойчивости, т. е. что происходит с корнями уравнения, как они передвигаются по плоскости Если при изменении А корни не попадают на мнимую ось, то с точки зрения устойчивости вообще ничего не меняется; если же хотя бы один корень попал на мнимую ось, то данное значение параметра А будет критическим, так как дальнейшее малое изменение А может привести к изменению порядка неустойчивости на единицу. Нам надо связать изменение параметра А с фактом

пересечения корнями мнимой оси. Так как корни характеристического уравнения комплексные, то удобно считать и А комплексной величиной. Пусть на комплексной плоскости корень пересекает ценимую ось, тогда на комплексной плоскости А это соответствует переходу параметра через некую границу, разделяющую области с различным порядком неустойчивости. Перебирая все значения лежащие на мнимой оси, и сопоставляя им значения А, мы построим в плоскости А границу D-разбиения, т. е. границу, разделяющую плоскость параметров на области с разным порядком неустойчивости.

Для построения этой границы поставим в соответствие точкам плоскости точки плоскости А, т. е. найдем из характеристического уравнения связь Если меняется от — до то и А пробегает некую кривую на плоскости А, причем в определенном направлении. Если заштриховать правую сторону мнимой оси, то и на этой кривой, лежащей на плоскости А, следует заштриховать правую по направлению движения сторону. Тогда можно утверждать, что переход из незаштрихованной области в заштрихованную увеличивает порядок неустойчивости на единицу. Переход с плоскости на плоскость А соответствует конформному отображению. Для построения такого конформного отображения необходимо, чтобы можно было разрешить уравнение относительно А, и, кроме того, необходима непрерывность и дифференцируемость т. е. функция должна быть голоморфной.

Рассмотрим простейший пример: Разрешая это уравнение относительно А, найдем откуда при находим Следовательно, . Таким образом, Граница области неустойчивости — это парабола (рис. 6.3). Внутри нее — область устойчивости. Вне — порядок неустойчивости

Метод -разбиений можно использовать и в случае, когда число корней характеристического уравнения счетно. Именно таким, как мы видели в гл. 4, оказывается спектр резонатора без излучения на границах. Если резонатор одномерный, то спектр волновых чисел всегда эквидистантный: для резонатора с идеальным отражением на концах и для кольцевого резонатора. Поскольку в

Рис. 6.3. Разбиение плоскости А на области с разным порядком неустойчивости для уравнения

Рис. 6.4. Схема цепочки, соответствующей уравнению (6.10) (а) и разбиение плоскости параметров 7/1, I на области с различным порядком неустойчивости (б)

дисперсионном уравнении — теперь фактически номер моды , то из этого уравнения, перебирая нетрудно определить границу устойчивости распределенной системы с дискретным спектром. Приведем простой пример. Будем считать, что резонатор кольцевой, и рассмотрим его устойчивость только по отношению к волновым возмущениям, распространяющимся вправо. Если в среде нет дисперсии и потерь, то из волнового уравнения сразу получаем значения частот Все частоты действительны, так как все счетное множество корней характеристического уравнения лежит на мнимой оси плоскости Таким образом, система устойчива по Ляпунову. Если в той же среде учесть высокочастотные потери, например вязкость, то уравнение бегущей волны примет вид а характеристическое уравнение запишется в виде Теперь все корни лежат в верхней полуплоскости плоскости (или в левой полуплоскости плоскости т. е. устойчивость лишь усилилась и стала экспоненциальной.

Введем в среду отрицательную диссипацию, проявляющуюся независимо от масштабов возмущения. Для определенности будем считать, что такая неравновесная среда моделируется цепочкой, изображенной на рис. 6.4 а. Уравнение бегущей волны в такой среде запишем в виде

Отыскивая решения для кольцевого резонатора,

получаем характеристическое уравнение:

На рис. 6.46 приведено разбиение плоскости параметров на области с различным порядком неустойчивости. В коротком резонаторе возможна лишь статическая неустойчивость, так как в правой полуплоскости плоскости расположен только один корень — с соответствующий экспоненциальному росту пространственно однородного поля. При увеличении порядок неустойчивости растет, однако при любом конечном I число корней в правой полуплоскости всегда конечно.