14.3. Релаксационные автоколебания. «Быстрые» и «медленные» движения

При сильной нелинейности колебания становятся релаксационными, состоящими из участков быстрых и медленных движений. Для нахождения таких разрывных колебаний Мандельштам и Папалекси предложили использовать «гипотезу скачка», учитывающую, что при перескоках энергия меняется непрерывно. В качестве примера рассмотрим уравнение Рэлея

где — велико. Введением нового времени и переменной можно перевести параметр в коэффициент при старшей производной:

Теперь при старшей производной стоит малый параметр Попытаемся найти асимптотическую форму решения уравнения (14.8) при Запишем уравнение (14.8) в виде системы двух уравнений первого порядка:

Заметим, что при фазовым пространством системы будет прямая х, закон движения по которой определяется видом функции

Рис. 14.5. Фазовое пространство для системы, описываемой уравнением (14.9) при а — функция определяющая закон движения вдоль х; б - направления движения в интервале

приведенной на рис. 14.5 а. В силу неоднозначности этой функции направление движения в интервале однозначно не определено (рис. 14.56). Другими словами, система получилась динамически противоречивой: единственное состояние равновесия при неустойчиво, а куда переходит система из точек

— неизвестно.

Попробуем снять это противоречие, учитывая, что параметр х имеет хотя и малое, но конечное значение. Уравнение интегральных кривых системы (14.9) имеет вид

При вне кривой или . Интегральными кривыми будут прямые а направления движения по ним определяются вторым уравнением системы (14.9). Из последнего следует, что скорость движения при очень велика. Это так называемые «быстрые» движения. «Медленные» движения происходят на самой кривой закон движения определяется первым уравнением системы (14.9). Фазовый портрет изображен на рис. 14.6 а. Верхняя и нижняя ветви кривой медленных движений устойчивы по отношению к быстрым движениям, средняя неустойчива. В точках происходит «скачок» с одной ветви кривой на другую. При любых начальных условиях система выходит на предельный цикл состоящий из участков «быстрых» и «медленных» движений. При этом система совершает релаксационные колебания, форма которых изображена на рис. 14.6 б. Период колебаний Т можно найти, подсчитав время движения по предельному циклу [5]. Временем быстрых движений можно пренебречь. Из уравнений медленных движений найдем

Таким образом, учет малого параметра оказался существенным для выяснения динамики системы. Всегда ли это так? Ясно, что если

Рис. 14.6. Фазовый портрет (а) и форма (б) релаксационных колебаний

введение малого параметра не повышает порядка уравнений, то учет его, если система в определенном смысле устойчива (см. гл. 15), не играет роли. Но даже если порядок уравнения повышается, то это оказывается несущественным в том случае, когда вся кривая медленных движений устойчива по отношению к быстрым движениям — при этом изображающая точка на фазовой плоскости очень быстро придет в малую (порядка окрестность кривой медленных движений, и динамика системы будет определяться только медленными движениями [4]. Аналитическое условие этого легко получить. Действительно, в общем виде система двух уравнений первого порядка с малым параметром при производной имеет вид Уравнения быстрых движений имеют вид уравнения медленных движений имеют вид Кривая медленных движений является геометрическим местом состояний равновесия для быстрых движений. Очевидно, что все участки этой кривой будут устойчивы по отношению к быстрым движениям, если для всех точек кривой.

В заключение заметим, что, поскольку практически весь опыт классической теории (по крайней мере для систем с немалой нелинейностью) был связан с анализом автоколебаний на фазовой плоскости, возможность установления периодических движений, отвечающих предельному циклу, ассоциировалась исключительно с такими диссипативными системами, в которых незатухающие колебания совершались лишь за счет непериодических источников энергии. Еще несколько лет назад никто бы не решился назвать автогенератором нелинейный

осциллятор с трением, находящийся под действием периодической силы:

Однако это — автогенератор: такой нелинейный осциллятор демонстрирует незатухающие колебания, параметры которых (интенсивность, частота, а в более общем случае спектр и т. д.) не зависят от конечного изменения начальных условий и слабо зависят от изменения внешней силы. В частности, в фазовом пространстве неавтономной системы, описываемой уравнением (14.10), имеются устойчивые периодические движения, которым, если смотреть стробоскопически через период внешней силы, соответствуют (в отображении Пуанкаре) устойчивые неподвижные точки.

Интенсивные исследования нелинейных диссипативных систем с трехмерным фазовым пространством позволили в последние годы обнаружить совершенно новый класс автоколебательных систем. Это автогенераторы шума — диссипативные системы, совершающие незатухающие хаотические колебания, колебания со сплошным спектром за счет энергии нешумовых источников. Замечательно, что даже столь привычный нам осциллятор (14.10) в широкой области параметров является автогенератором шума. Открытие стохастических автоколебаний — это, пожалуй, наиболее яркое достижение современной теории. Почему же оно появилось только сейчас? Дело в том, что со времен Пуанкаре до недавнего времени предельный цикл был единственным примером нетривиального притягивающего множества в фазовом пространстве нелинейных диссипативных систем. Правда, уже довольно давно были обнаружены сложные многопетлевые предельные циклы. Устойчивые многопериодические движения были обнаружены при исследовании синхронизации автогенераторов.

По-видимому, обнаружение сложных предельных циклов, а затем и бифуркаций, показывающих дорогу к их дальнейшему усложнению, уже могло бы послужить причиной расширения представлений об автоколебаниях. Однако фактически это произошло несколько позже, когда появились результаты численных экспериментов, доказывающих существование «непериодических разовых потоков» в диссипативных неравновесных системах [6]. Практически в то же время в абстрактной теории динамических систем появились новые математические объекты — сложные аттракторы, названные Рюэлем и Такенсом «странными».

Примером странного аттрактора — притягивающего множества, на котором нет устойчивых траекторий и где все они ведут себя сложно

и запутанно, — служит притягивающая структура из седловых циклов (когда все траектории, сматывающиеся с них, стремятся к циклам той же структуры).

Замечательно, что сейчас, когда сформировалась новая точка зрения на стохастические автоколебания, они обнаруживаются в очень простых, по существу, классических системах, например таких, как связанные автогенераторы или релаксационный генератор с полутора степенями свободы. Их находят, потому что теперь знают, что именно искать.