5.5. Волны в сверхтекучей жидкости

Говоря о гидродинамике сверхтекучей жидкости, будем иметь в виду гидродинамику Hell без учета эффектов диссипации.

Рис. 5.4. Зависимость теплоемкости гелия от температуры при атмосферном давлении

Гелий, став жидким при 4,2 К, не затвердевает при атмосферном давления вплоть до абсолютного нуля температуры. Однако при температуре Т и 2,19 К происходит фазовый переход и гелий обнаруживает в новой жидкой фазе совсем иные, чем ранее, свойства. В частности, вблизи указанной температуры (-точки) имеет место аномальное поведение теплоемкости в зависимости от температуры. Как указано на рис. 5.4, в интервале температур от 4,2 до 2,17 К гелий находится в одной фазе, где он ведет себя как обычная жидкость а при переходе через Л-точку в более низкотемпературную область — в другой фазе и характеризуется рядом удивительных свойств.

В 1938 г. П. Л. Капица открыл явление сверхтекучести Не II, состоящее в том, что Hell протекал по узким капиллярам (диаметр которых около так, как будто для него полностью отсутствует

вязкость при переходе через -точку в то время как Основываясь на результате эксперимента Капицы, можно было ожидать, что гидродинамика Hell есть гидродинамика идеальной классической жидкости, поведение которой описывается уравнениями Эйлера. Однако в ряде экспериментов было выяснено, что это не так; например, метод измерения вязкости, основанный на исследовании крутильных колебаний диска, помещенного в жидкость, давал для значение, мало отличающееся от Налицо был парадокс вязкости: в одних экспериментах Hell вел себя как сверхтекучая жидкость без вязкости, в других — как нормальная жидкость с конечной вязкостью, хотя обычно оба метода измерения вязкости давали одинаковый результат. Более того, некоторые динамические свойства Hell нельзя было описать в рамках уравнений Эйлера даже тогда, когда наверняка внутренним трением можно пренебречь (эффект фонтанирования, механокалорический эффект, см. рис. 5.5).

Рис. 5.5. Схемы опытов, демонстрирующих необычные динамические свойства жидкого гелия: а — эффект фонтанирования при освещении лучами 2 трубки, заполненной наждачным порошком 3 и помещенной в гелиевую ванну 1; из верхнего конца трубки бьет фонтан 4 жидкого гелия; — механокалорический эффект при быстром вытекании жидкого гелия из сосуда 1 температура внутри сосуда повышается (при обратном процессе понижается); 2 — измеритель температуры; 3 — спрессованный порошок

В 1941 г. Капица поставил опыт (рис. 5.6), в котором в Не II погружался маленький сосуд с нагревателем и термопарой, частично заполненный Не II и сообщающийся с большим объемом через узкий капилляр. При включении нагревателя выделяется тепло (поток тепла вытекает из внутреннего сосуда во внешний) и из капилляра бьет фонтанчик

гелия, который фиксируется по отклонению листочка крутильных весов. Однако уровень жидкости в маленьком сосуде не меняется. Тогда остается предположить, что имеется противоположный поток внутрь маленького сосуда, не отклоняющий листочек крутильных весов.

Опыт Капицы в сочетании с имеющимися экспериментальными результатами привел к созданию двухжидкостнои модели Hell. Сущность модели в следующем. Hell нужно рассматривать как совокупность двух компонентов — сверхтекучего с плотностью не испытывающего сил вязкости, и нормального с плотностью аналогичного . В такой двухжидкостной гидродинамике (см. [1], гл. XVI; [9, § 19; 10]) плотность жидкости причем при и вся жидкость превращается в Hell; при переходе через -точку в сторону больших температур, наоборот, , а вся жидкость есть Кроме того, предполагается, что сверхтекучий и нормальный компоненты свободно без трения перемещаются относительно друг друга. Существенным моментом модели является также тот факт, что движение Hell характеризуется заданием двух векторов скорости: — скорости нормального компонента и — сверхтекучего компонента. Введенных представлений достаточно, чтобы объяснить результаты упоминавшихся экспериментов. Сделаем это, начав с парадокса вязкости. В опытах с крутильными колебаниями диска последний останавливался из-за трения с нормальным гелием (отсюда не — сверхтекучий и нормальный компоненты не разделялись. В эксперименте с капилляром протекал только сверхтекучий компонент.

Механокалорический эффект (рис. 5.5 б) объясняется тем, что сверхтекучее движение не связано с переносом тепла: вытекает из сосуда главным образом сверхтекучий компонент, а теплового потока нет; поэтому внутри сосуда повышается температура оставшейся там меньшей массы жидкости. В опыте, схема которого приведена на рис. 5.5 а, с увеличением температуры при нагревании возрастает что приводит к движению сверхтекучего компонента, создающего своим притоком в месте нагрева термостатическое давление. В результате из конца трубки бьет фонтан жидкого гелия.

Наконец, в последнем из описанных опытов Капицы (рис. 5.6) на листочек крутильных

Рис. 5.6. Схема опыта Капицы: 1 — вакуум; 2 — нагреватель; 3 — термопара; 4 — жидкий гелий (Hell); 5 — листочек крутильных весов

весов действует нормальный компонент, а встречным потоком является сверхтекучий компонент.

Э. Л. Андроникашвили измерил плотности компонент в опытах с вращением стопки металлических дисков, находящихся в сосуде с жидким гелием и подвешенных на упругой нити. Идея этого изящного опыта состояла в том, что нормальный компонент, обладающий вязкостью, должен вовлекаться дисками во вращательное движение и система будет обладать тем большим моментом инерции, чем больше масса жидкости, в то время как сверхтекучий компонент не должен участвовать в движении (у него нет вязкости), поэтому его момент инерции должен совпадать с моментом инерции пустого сосуда [25].

Наиболее важным в теории сверхтекучей жидкости было предсказание возможности распространения в жидком гелии волн, названных вторым звуком (в 1945 г. В. П. Пешков подтвердил это экспериментально).

В линейном приближении уравнения, описывающие распространенно звука в сверхтекучей жидкости, имеют вид [1]

Здесь — химический потенциал, который в линейном приближении удовлетворяет тождеству Заметим, что появление градиента в уравнении движения для сверхтекучего компонента отражает факт потенциальности движения. Путем простых преобразований исходную систему можно записать в виде двух уравнений:

При низкой температуре эти уравнения описывают звуковые волны [9]. Действительно, при низкой температуре можно считать, что сжимаемость определяется упругими силами между молекулами, т.е. плотность зависит главным образом от давления Но тогда получается уравнение

описывающее звуковые волны в обычной жидкости; в частности, полагая, что решение имеет вид плоской волны приходим к закону дисперсии (5.12). В этом случае т. е. оба компонента в такой волне колеблются как целое, и обе массы движутся вместе со скоростью равной скорости центра их масс. С другой стороны, учитывая, что при низкой температуре наиболее существенна зависимость энтропии на единицу массы от температуры, положим и заменим на Это приводит нас к уравнению для волн, называемых «вторым звуком»:

Подставляя решение в виде бегущей волны, находим закон дисперсии для «второго звука»: т. е. скорость «второго звука» где — теплоемкость единицы массы при постоянном объеме. В такой волне (колебания происходят при постоянном объеме или давлении, причем но тогда т.е. сверхтекучий и нормальный компоненты колеблются в противофазе; таким образом, суммарного потока вещества нет, поскольку скорость центра масс компонентов близка к нулю (в то же время существует относительное движение сверхтекучего и нормального компонентов). Если вспомнить, что сверхтекучий компонент не переносит тепла, то становится понятным, что волны «второго звука» связаны с колебаниями температуры, а не плотности (в этом смысле показательно то, что в волновом уравнении для «второго звука» переменной является Т). Уникальность Hell в том, что в нем существуют температурные волны, т. е. обратимые температурные возмущения, в отличие от необратимого распространения таких возмущений путем теплопроводности в других веществах. Следует заметить, что по отдельности оба компонента жидкого гелия испытывают сжатия и разрежения. Такие сжатия и разрежения сверхтекучего компонента, который, как уже говорилось, не переносит энтропия, сопровождаются обратимыми увеличениями и уменьшениями температуры. Сила, противодействующая этим изменениям, т. е. возвращающая сила, связана с градиентом химического потенциала (он вызван изменением температуры без изменения давления). Из уравнения движения для сверхтекучего компонента следует, что градиент химического

потенциала вызывает ускорение этого компонента, противодействующее сжатиям и разрежениям.

В заключение отметим, что макроскопическая двухжидкостная модель, будучи классической, не в состоянии дать полного описания гелия, который является квантовой жидкостью, т. е. макроскопическим веществом с поведением, подчиняющимся квантовым законам [11]. С точки зрения классической физики при низких температурах ионы в кристалле (простейшие модели рассмотрены в гл. 4) совершают малые колебания около положения равновесия (при Т = 0 К они вообще неподвижны), что и определяет упорядоченность твердого тела. Но гелий остается жидким до таких низких температур , при которых длина волны де Бройля, которая определяет тепловое движение атомов в жидкости, имеет порядок величины расстояния между атомами, т. е. существенны только квантовые явления. Таким образом, гелий и не обязан затвердевать (вспомним, что квантовомеханический осциллятор даже в основном состоянии имеет энергию и совершает «нулевые» колебания; см. гл. 1). Такое поведение гелия связано с тем, что его атомы слабо взаимодействуют, а энергия «нулевых» колебаний сравнительна велика. В основе теории квантовых жидкостей лежит концепция об элементарных возбуждениях — квазичастицах (гл. 4).

В 1947 г. Л. Д. Ландау на основе анализа экспериментальных данных предложил закон дисперсии квазичастиц (зависимость энергии § от импульса графически представленный на рис. 5.7. Начальный линейный участок кривой соответствует звуковым квантам — фононам. Далее с ростом функция достигает максимума, после чего убывает и при некотором проходит через минимум, в котором . С точностью до членов второго порядка малости область кривой вблизи можно аппроксимировать функцией Квазичастицы, соответствующие этой области импульсов и энергии были названы ротонами (то — эффективная масса ротона, — его минимальная энергия). В тепловом равновесии возбуждение фононов и ротонов определяет термодинамическое поведение жидкого гелия, поскольку эти квазичастицы имеют энергии вблизи минимумов функций (фононы — вблизи ротоны — вблизи Таким образом, оба сорта квазичастиц описывают разные участки кривой между которыми есть непрерывный переход, т. е. и фононы, и ротоны относятся к одному физическому объекту — квантовой жидкости Именно существование описанного энергетического спектра позволило Л. Д. Ландау объяснить явление сверхтекучести (см. [9, 11]).

Рис. 5.7. Закон дисперсии элементарных возбуждений в жидком гелии: 1 и 2 — ветви, соответствующие возбуждению фононов и ротонов

В чем проявляется наличие вязкости, если жидкость течет по капилляру со скоростью при ? В потере кинетической энергии жидкости и, следовательно, в уменьшении скорости потока. В системе координат, движущейся с жидкостью, гелий неподвижен, а капилляр движется со скоростью при наличии вязкости гелий в этой системе координат должен двигаться, причем движение начинается с появлением элементарных возбуждений. Пусть возникла одна квазичастица с энергией и импульсом . Это приводит к тому, что в движущейся системе координат (в ней гелий покоился) энергия жидкости Е станет равной , а ее импульс . В неподвижной системе координат (в ней покоится капилляр) согласно формулам механики для преобразования энергии и импульса имеем

или

где М — масса жидкости, — кинетическая энергия жидкости до возбуждения. Изменение энергии из-за возникновения квазичастицы должно быть отрицательным (энергия движущейся жидкости должна быть меньше энергии покоящейся), т.е.

при возникающая в жидкости квазичастица — фотон, т.е. (см. рис. 5.7), и неравенство (5.84) принимает вид Поскольку величина может быть только положительной, последнее неравенство не удовлетворяется при т.е. появление фонона запрещают законы сохранения. Но тогда жидкость не замедляется, гелий течет по капилляру без трения, что соответствует явлению сверхтекучести. (Подумайте сами, при каком виде кривой условие (5.84) может быть выполнено, например, для антипараллельных и ) Если то в жидкости уже есть возбуждения, однако проведенные

выше рассуждения остаются в силе: нужно рассмотреть возбуждение еще одного фонона, помимо имеющихся. Как и в предыдущем случае, появление этого нового фонона запретят законы сохранения. Однако уже имеющиеся квазичастицы будут обмениваться энергией со стенками капилляра. Они и составляют нормальный вязкий компонент в двухжидкостной модели. Сверхтекучий компонент — другое движение в квантовой жидкости — не проявляет вязкости. Подробный анализ случая изложен в § 23 книги [11]. Заметим, что сверхтекучесть в какой-то мере аналогична сверхпроводимости: заряженная электронная жидкость в сверхпроводниках течет сквозь кристаллическую решетку без «трения» (она не обменивается с решеткой энергией и, следовательно, не испытывает сопротивления).