1.3. Резонанс. Действие непериодической внешней силы на осциллятор

До сих пор речь шла об автономном осцилляторе. Пусть теперь на линейный осциллятор действует периодическая внешняя сила. Исходным для анализа будет уравнение

где — постоянная амплитуда внешней силы, — ее частота.

Явление резонанса состоит в резком возрастании амплитуды установившихся колебаний, которое наступает при приближении частоты гармонического внешнего воздействия к собственной частоте осциллятора (в более общем случае — к частоте одного из собственных колебаний анализируемой системы).

Рассмотрим снова осциллятор без затухания Общее решение уравнения (1.26) в этом случае имеет вид

где Выберем в качестве начальных условий при Тогда и движение такого неавтономного осциллятора будет описываться функцией

Проследим, как происходит нарастание амплитуды колебаний осциллятора при резонансе, когда . В этом случае и

При точном резонансе т. е. при периодическом воздействии амплитуда колебания ведет себя как непериодическая функция времени (рис. 1.8). Множитель соответствует секулярному росту амплитуды, а скорость ее нарастания зависит от величины

Рис. 1.8. Поведение решения уравнения (1.26) при резонансе (а) и осциллограмма при

Секулярный рост амплитуды — одно из простейших проявлений неустойчивости системы по отношению к внешним воздействиям.

Такая неустойчивость есть следствие идеализации исходной модели. В зависимости от ситуации модель должна учитывать либо нелинейные эффекты (система остается консервативной), либо линейную диссипацию (вязкость, трение, сопротивление и т. п.). В первом случае нелинейные эффекты приводят к сдвигу частоты и постепенному выходу из резонанса; это можно увидеть, если «подправить» уравнение (1.26) при следующим образом:

где — постоянные. Анализ нелинейной задачи мы отложим до гл. 13. Сейчас же рассмотрим резонанс в осцилляторе с конечной добротностью. Используем метод комплексных амплитуд, т. е. будем считать, что все переменные — величины комплексные, а в решении примем во внимание лишь их действительную часть. Тогда уравнение (1.26) запишется в виде

где Если подождать достаточно долго, собственные колебания осциллятора затухнут; поэтому посмотрим лишь на вынужденное решение где и в нужно определить. После подстановки решения в (1.27) и разделения действительной и мнимой частей получим

Резонансная кривая, изображенная на рис. 1.9, соответствует установившемуся стационарному процессу и определяет зависимость амплитуды установившихся колебаний от частоты внешней силы. Следует отметить, что теперь максимальная амплитуда колебаний достигается не при точном совпадении собственной частоты осциллятора с частотой вынуждающей силы, а смещается влево по оси частот на величину, зависящую от 7 (рис. 1.9). Действительно, если то, продифференцировав выражение для по находим, что максимум имеет место при Если то очевидно, что можно переписать так:

Тогда при а ширина резонансной кривой на уровне равна Разумеется, следует считать, что поскольку Явление резонанса проявляется буквально на каждом шагу. Приведем несколько примеров.

Рис. 1.9. Резонансные кривые и сдвиг фаз между внешней силой и смещением осциллятора в зависимости от частоты: штриховая кривая — траектория смещения максимума в зависимости от

Рис. 1.10. Схема двухрезонаторного клистрона: 1 — входной и выходной объемные резонаторы; 2 — электронная пушка; 3 — электронный поток; 4 — коллектор, собирающий электроны; 5 — труба дрейфа; — потенциал трубы дрейфа; — мощности входного и выходного сигналов; — постоянная составляющая тока пучка; ей — заряд и масса электрона

Явление резонанса лежит в основе принципа действия сверхвысокочастотных электронных приборов, в которых используются высокодобротные объемные резонаторы. Типичными приборами этого класса являются клистроны, а простейшим из них можно назвать двухрезонаторный пролетный усилительный клистрон (рис. 1.10) [6]. Входной сигнал от внешнего источника с частотой близкой к собственной частоте резонатора, воздействует на электронный пучок внутри высокочастотного зазора. Поэтому на входе в трубу дрейфа электроны

имеют разные скорости. Труба дрейфа — пространство, свободное от внешних высокочастотных полей. В этом пространстве из-за конечного времени пролета электроны, покинувшие резонатор с большими скоростями, догоняют электроны, вылетевшие раньше с меньшими скоростями. Это приводит к группированию электронов, образованию электронных сгустков — уплотнений и в результате — к возникновению переменной составляющей тока ([7], гл. II). Если частота возбуждения входного резонатора близка к собственной частоте выходного, то электронные сгустки будут возбуждать его резонансным образом, что приведет к усилению входного сигнала. Когда входной сигнал велик, в пучке начинают сказываться нелинейные процессы и возникают гармоники тока частоты . Такие гармоники будут эффективно возбуждать колебания в выходном резонаторе опять-таки при выполнении условий резонанса во времени, которые для гармоники запишутся в виде целое число). Это будет уже клистрон — умножитель частоты.

Использование явления резонанса чрезвычайно разнообразно. На его основе определяют, в частности, собственные колебания молекул в веществе. Молекулы некоторых газов, молекулы с электрическим дипольным моментом, парамагнитные атомы и ионы во внешнем магнитном поле и т. имеют такой набор энергетических уровней, которому соответствуют собственные (резонансные) частоты, лежащие в сверхвысокочастотном диапазоне радиоволн. Если такая молекула или атом облучаются электромагнитными СВЧ-колебаниями, частота которых удовлетворяет условию — постоянная Планка; — значения энергии на верхнем и нижнем уровнях), то может произойти резонансное поглощение.

Рис. 1.11. Блок-схема радиоспектроскопа: 1 — отражательный клистрон; 2 — поглощающая ячейка с исследуемым веществом; 3 — приемник; 4 — регистрирующее устройство (а — величина, характеризующая поглощение, и — резонансные частоты)

Для изучения поглощения СВЧ-колебаний атомами или молекулами применяют радиоспектроскопы (рис. 1.11) [8]. От генератора СВЧ-колебаний излучение попадает в поглощающую ячейку — объемный резонатор (или отрезок волновода), заполненный исследуемым веществом. Когда частота сигнала, подаваемого от внешнего источника, совпадает в резонаторе или волноводе с резонансной частотой поглощения исследуемого вещества, то происходит поглощение СВЧ-излучения, которое приводит к ослаблению сигнала на выходе приемника и к появлению пиков на кривой зависимости поглощаемой мощности от частоты, т. е. максимумов поглощения спектральных линий. Исследование резонансных частот, ширины и формы спектральных линий позволяет определить структуру молекул, структуру атомных ядер и строение электронных оболочек атомов, устанавливать характер взаимодействия между атомами и молекулами в веществе и т.д. (подробнее см. [8]).

Рис. 1.12. К определению собственных параметров осциллятора Земля—атмосфера [12]: ; 1 - Луна; 2 — атмосфера; 3 — Земля

Резонанс можно использовать и для глобальных измерений. С его помощью удалось, например, определить параметры осциллятора Земля-атмосфера. Внешней силой в этом случае служит Луна, которая вращается вокруг Земли и вызывает два раза в сутки приливы атмосферы с периодом мин. Очевидно, что если атмосферу сместить, то благодаря возвращающей гравитационной силе возникнут ее колебания относительно Земли. Для измерения параметров такого

глобального осциллятора достаточно найти и в (см. рис. 1.9) при каком-нибудь одном значении Так и было сделано: измерили атмосферные приливы и время их задержки, что позволило по одной известной точке построить резонансную кривую Непосредственно период колебаний атмосферы удалось измерить в 1883 г. при взрыве вулкана Кракатау. Он оказался равным мин, в то время как период соответствующий рис. 1.12, равен мин.

Зададимся теперь вопросом: какую работу совершает внешнее поле над осциллятором? Работа, совершаемая силой за время равна а мощность Из уравнения (1.26) следует, что Если учесть, что , то средняя за период мощность равна

Таким образом, при Казалось бы, странный результат? Однако следует помнить, что это — мощность потерь в стационарном режиме, т. е. когда осциллятор уже запас всю положенную ему энергию и внешняя сила идет лишь на покрытие диссипативных расходов. В этом и объяснение парадокса: при внешняя сила вообще не совершает работы над осциллятором.

Как поведет себя гармонический осциллятор под действием произвольной непериодической внешней силы когда движение описывается уравнением Воспользуемся для получения ответа методом неопределенных коэффициентов (методом множителей Лагранжа), полагая Тогда

где Так как мы ввели две произвольные функции, а уравнение всего одно, можно наложить на них произвольную связь. Из соображений арифметического удобства потребуем выполнения равенства Тогда, следовательно,

Подставляя в исходное уравнение, окончательно получаем

Разрешим это уравнение и уравнение связи как систему уравнений относительно Элементарные преобразования дают

Если, например, как и в предыдущих задачах, то и при решение уходит в бесконечность — секулярный рост. Очевидно, что если с ростом коэффициенты остаются малыми, то резонанса не будет. Таким образом, условие отсутствия резонанса можно записать в виде

Математически последнее соотношение означает, что функция не должна содержать собственных функций нашей задачи. Если же (внешняя сила может быть представлена рядом Фурье) и одна из совпадает с собственной частотой осциллятора, то возникает резонанс. Все составляющие других частот в этом случае будут мало существенными.