18.3. Определение координат разрыва

Определим координаты разрыва, возникающего в результате эволюции простой волны, на примере волн в автомобильном потоке [6].

Будем считать, что движение однорядное, а светофоры отсутствуют. Обозначим через поток машин, равный числу автомобилей, проходящих через данную точку шоссе в единицу времени, а через плотность (концентрацию) машин, равную числу автомобилей на единицу длины. Если общее число машин на трассе сохраняется (нет источников и стоков), то или

Это уравнение простой волны, решения которого часто называют кинематическими волнами. Характер зависимости потока машин от их плотности изображен на рис. 18.6а. Вначале поток растет вместе с ростом числа машин на единицу длины, а затем, достигнув максимума, начинает падать и обращается в нуль при очень большой концентрации (машины упираются бамперами друг и друга и останавливаются. Как показывают наблюдения, для однорядного движения без светофоров а максимальный поток

Рис. 18.6. Распространение волн в потоке: а — зависимость потока машин от их плотности; б - возникновение разрыва в профиле волны при в — зависимость скорости распространения возмущений от плотности машин; образование разрыва на заднем фронте импульса из группы машин

причем достигается столь большой поток при довольно маленькой скорости, равной приблизительно 30 км/ч. Если в потоке машин возникнет возмущение плотности (например, кто-то затормозил), то оно будет распространяться со скоростью (скорость потока ). Решение уравнения (18.20) отыскивается в виде

или, если записать через обратную функцию,

При такой форме записи легко найти решение: каждая точка профиля волны будет двигаться по прямой на плоскости (рис. 18.6б) со своей

скоростью Эти прямые называются характеристиками (см. гл. 7). Точка пересечения характеристик соответствует возникновению разрыва в профиле волны, где как это точка перегиба). Координаты разрыва (момент времени значение х, при которых образуется разрыв, и величину в точке перегиба) легко найти, воспользовавшись соотношением (18.21). Пусть нам задано при Дифференцируя (18.21) по координате, имеем

При величина характеризует начальный профиль плотности. Так как функция Ф от не зависит, то с течением времени она меняться не будет. С учетом последнего соотношения уравнение (18.22) примет вид

Таким образом, разрыв при образуется на переднем фронте волны если и на заднем фронте если Поскольку в случае автомобильного потока функция монотонно убывающая (рис. 18.6 в), разрыв (резкая концентрация машин) стремится образоваться на заднем фронте импульса из группы машин (рис. 18.6 г). Заметим, что там, где волна бежит в ту же сторону, что и поток машин, при — в противоположную. Машины (они движутся быстрее, чем волна) догоняют скачок уплотнения и увеличивают его (чтобы не «уплотнять» затор, шофер должен резко тормозить в переходной области и затем постепенно увеличивать скорость, убегая от затора).

Возвращаясь к задаче об определении координат разрыва, запишем систему уравнений, решением которой они являются. Так как на разрыве то, дифференцируя с учетом этого (18.21) по при постоянном получаем

Добавив сюда уравнение (18.21) в точке разрыва:

будем иметь систему трех уравнений, из которой можно найти неизвестные величины

В случае задачи с граничными условиями (при t = 0 задана форма волны на границе) координаты разрыва находятся из условий аналогично предыдущему.

Итак, в линейной среде без дисперсии любая бегущая волна является стационарной, т. е. при распространении форма ее не меняется. Причем все физические переменные в такой волне связаны алгебраически. В то же время даже в слабо нелинейной среде при отсутствии дисперсии все гармоники, порождаемые нелинейностью, находятся в резонансе с основной волной — все они распространяются с одинаковыми скоростями. Поэтому, спустя достаточно большое время, даже при очень слабой нелинейности амплитуда их будет нарастать, что приведет к существенному изменению профиля волны, т. е. в нелинейных средах без дисперсии стационарных волн быть не должно. На спектральном языке сказанное означает, что спектр исходного возмущения будет непрерывно расширяться вправо. В результате в спектре волны появляются бесконечно высокие частоты, что и соответствует возникновению бесконечно быстрых перепадов на фронте волны.