14.2. Генератор Ван-дер-Поля. Зависимость формы автоколебаний от параметров системы

Схема генератора Ван-дер-Поля (рис. 14.1 б) и описывающее ее уравнение Ван-дер-Поля

и сейчас, спустя полвека после появления, служат основной моделью автоколебаний с одной степенью свободы. Для уравнения (14.1) и для уравнения Рэлея

которое после дифференцирования и замены переменной принимает вид (14.1) с существование предельных циклов доказать сравнительно просто.

Уравнение Ван-дер-Поля легко получить для лампового генератора, например, с колебательным контуром в цепи сетки, принципиальная схема которого изображена на рис. Будем пренебрегать сеточными токами. На основании законов Кирхгофа для колебательного контура Величина есть

ЭДС, которая наводится в контуре под воздействием на него анодного тока , протекающего по катушке в цепи анода (слагаемое можно назвать ЭДС обратной связи). Из написанных уравнений следует, что

где — крутизна характеристики лампы в пренебрежении анодной реакцией (предполагается, что анодный ток 1а зависит лишь от поэтому Уравнение (14.3) есть нелинейное уравнение лампового генератора. Предположим далее, что анодно-сеточную характеристику лампы можно аппроксимировать полиномом (рис. 14.1 в). Это означает, и уравнение (14.3) принимает вид (14.1), где

Величина параметра а показывает, насколько сильно возбужден генератор (при условия возбуждения не выполнены). Величина (3 характеризует амплитуду автоколебаний: чем меньше тем больше амплитуда. Вводя безразмерные переменные и параметры получим окончательно

Как будет зависеть форма предельного цикла от параметра При система становится линейной консервативной. Естественно ожидать, что при малом автоколебания будут мало отличаться от гармонических колебаний, а нелинейное трение лишь «выбирает» амплитуду устойчивого предельного цикла. При больших форма колебаний может существенно отличаться от синусоидальной.

Одним из методов нахождения предельных циклов является метод графического построения интегральных кривых на фазовой плоскости — метод изоклин. Изоклиной называется геометрическое место точек, в которых касательные к интегральным кривым имеют одинаковый наклон. Запишем уравнение (14.5) в виде Уравнение интегральных кривых будет таким:

Пусть наклон интегральной кривой в некоторой точке равен k, т. е. Тогда из (14.6) получим

Если то т. е. ось у пересекается интегральными кривыми под тем большим углом, чем больше При касательные к интегральным кривым вертикальны. Давая к различные значения, из (14.7) будем получать уравнения разных изоклин Строя затем семейства изоклин, можно построить интегральные кривые, а следовательно, и фазовые траектории. Фазовые портреты, полученные таким методом для уравнения (14.5) при различных значениях изображены на рис. 14.3. На рис. 14.4 приведены осциллограммы, иллюстрирующие характер установления и форму автоколебаний в системе.

Рис. 14.3. Фазовые портреты, соответствующие уравнению (14.5) при различных значениях параметра нелинейности а — квазигармонические колебания сильно несинусоидальные в — релаксационные

Предельные циклы на рис. 14.3 содержат внутри особую точку, причем для эта точка является неустойчивым фокусом, а для — неустойчивым узлом. Форма автоколебаний при этом меняется от квазисинусоидальной до релаксационной. Величина характеризует нелинейность в системе таким образом: чем больше нелинейность в системе, тем больше форма колебаний в ней отличается от синусоидальной. В физической литературе величину иногда называют прочностью предельного цикла — при малом траектории слабо притягиваются к циклу, при такое притяжение очень сильно,

Рис. 14.4. Осциллограммы, иллюстрирующие характер установления и форму автоколебаний в системе, описываемой уравнением (14.5). Они соответствуют фазовым портретам на рис. 14.3: , т. е. цикл «прочный». В случаях удается достаточно просто решить задачу об автоколебаниях в системе приближенными аналитическими методами [3-5].