16.2. Конкуренция

В простейшей постановке конкуренция — это чисто энергетический эффект. Он не связан со значениями фаз колебаний и имеет место, даже когда колебаний вообще нет, — вспомним конкуренцию биологических видов. Мы начнем с обсуждавшегося в начале главы двухконтурного автогенератора (см. рис. 16.1). способного в зависимости от параметров работать в режиме генерации одной или двух мод [11-13]. Его уравнения движения записываются в виде

где — крутизна анодно-сеточной характеристики лампы (зависимость — аппроксимируем, как и прежде, кубической параболой).

Введем безразмерные переменные

и параметры — парциальные частоты контуров, — коэффициент связи между контурами, — параметр, характеризующий степень возбуждения генератора, — отношение декремента затухания во втором контуре к инкременту нарастания в первом контуре. Тогда система (16.9) примет вид

При (линейная консервативная система) в любом из контуров мы бы наблюдали колебания с нормальными частотами и

Значения комплексных амплитуд определяются начальными условиями, а коэффициенты распределения даются выражениями (читателю предоставляется убедиться в этом самостоятельно). Нормальные частоты удовлетворяют уравнению (его легко получить, подставив решение в систему ).

Зависимость нормальных частот от расстройки, определяемая этим уравнением, задается графиком Вина (рис. 16.11). При (это означает, что генератор возбужден слабо) и (добротность второго контура велика) для решения системы (16.10) можно, как и в предыдущем параграфе, воспользоваться методом Ван-дер-Поля.

Рис. 16.11. График Вина. Асимптота при асимптота

Имея в виду малость решение (16.10) будем искать в виде (16.11), но амплитуды будем уже считать функциями времени. Подставив это решение в систему (16.10), разрешим ее относительно производных , усреднив правые части полученных уравнений по времени, получим укороченные уравнения типа (16.4), но для двух комплексных амплитуд Использовав представление , перейдем затем к уравнениям для действительных амплитуд и фаз:

где

Из системы (16.12) следует, что колебания в генераторе будут происходить с теми же частотами, что и в линейной системе (правые части уравнений для фаз — нули, т. е. поправка на частоту отсутствует).

Поскольку в уравнение для амплитуд фазы не входят, можно провести исследование амплитудных уравнений независимо. Перейдем к переменным Тогда уравнения для квадратов запишутся в виде

Они описывают взаимодействие двух мод (нормальных колебаний), черпающих энергию из одного источника. Коэффициенты характеризуют влияние мод друг на друга и называются коэффициентами нелинейной связи мод. Их физический смысл весьма очевиден: при малых моды почти не замечают друг друга и автоколебания на каждой из мод ведут себя независимо, при больших наоборот, уровень, на котором стабилизируются амплитуды определяется амплитудами «чужих» мод соответственно (это сильная связь). Наконец, связь может быть невзаимной, когда при этом влияние одной из мод на другую может быть сильным, а обратное — слабым.

Исследуем зависимость стационарных решений системы (16.13) от коэффициентов связи с помощью анализа фазовой плоскости. Фазовые портреты для различных (рис. 16.12 а) приведены на рис. 16.12 б-д. Легко убедиться, что система имеет четыре состояния равновесия:

Последнее существует лишь в том случае, если параметры на плоскости находятся в области I или IV, причем устойчивым оно оказывается только при малых коэффициентах связи (область IV). Можно

Рис. 16.12. Фазовые портреты системы (16.13), иллюстриующие процесс взаимодействия двух мод

убедиться, что для рассматриваемого нами генератора коэффициенты связи не могут быть одновременно меньше единицы. Таким образом, двухчастотный режим (характерный для эквивалентной линейной системы) в нелинейном автогенераторе реализоваться не может. В области II (III) при любых начальных условиях устанавливаются колебания на второй (первой) нормальной частоте. В области I «выживание» той или иной моды определяется начальными условиями, а размер областей притяжения мод зависит от коэффициентов связи. Такой характер взаимодействия мод обычно называют конкуренцией мод. Выясним зависимость режимов работы системы от расстройки между контурами. Из характера изменения коэффициентов связи для (рис. 16.13 а) следует, что при могут существовать колебания только на частоте а при — только на частоте (рис. 16.136). В области в зависимости от начальных условии может устанавливаться любой из режимов (на рисунке эта область заштрихована). Таким образом, если плавно менять расстройку, начиная с малых значений , то сначала в генераторе будут колебания на большей нормальной

частоте; при скачком произойдет изменение частоты до значения (при этом имеет место и скачок амплитуды), и при дальнейшем росте расстройки колебания будут на меньшей нормальной частоте. При обратном ходе по наблюдается гистерезис (рис. 16.136). Это явление называется затягиванием; оно хорошо известно экспериментаторам. Во многих случаях оно является вредным, так как в процессе настройки генератора при изменении какого-нибудь параметра может происходить изменение частоты. Детальное исследование зависимости ширины интервала затягивания от параметров системы мы проводить не будем из-за громоздкости вычислений. Отметим только, что для того, чтобы избежать затягивания, надо использовать слабую обратную связь в генераторе или уменьшать добротность второго контура.

Вопрос о взаимодействии двух биологических видов со времен Вольтерра (см. гл. 1) является центральным в теоретической экологии [7, 8].

Экологи изучают, как правило, три типа взаимодействия:

а) взаимодействие «хищник-жертва» (см. гл. 1);

б) невзаимное воздействие одного вида на другой;

в) конкуренция видов (вид взаимодействия, при котором любой из видов подавляет рост другого при численном его превышении).

Рис. 16.13. Явление затягивания: а — зависимость коэффициентов связи для от расстройки; — область гистерезиса на графике Вина

Обратимся к несколько модифицированным уравнениям Вольтерра, которые позволяют рассмотреть эти взаимодействия. Они выведены из логистического уравнения в которое добавлены слагаемые для описания «подавления» одним видом другого. Уравнения имеют вид

где — численности видов.

Рис. 16.14. Решение системы уравнений (16.15), учитывающей самоограничение «жертвы» — слагаемое в первом из уравнений (16.15) (стрелки на плоскости указывают направление движения системы — ее динамику) (а) и изменение численности «хищников» (штриховая линия) и «жертв» (сплошная линия) (б)

Если речь идет о взаимодействии между жертвой с численностью и хищником с численностью который уничтожает жертву, то (16.14) следует переписать в виде (см. [8])

Решение системы (16.15) известно [8]: численности жертв и хищников колеблются, затухая со временем (колебания численности жертв опережают по фазе колебания численности хищников) (рис. 16.14).

Динамику конкуренции между двумя видами иллюстрирует рис. 16.15, из которого следует возможность устойчивого и неустойчивого состояний равновесия системы (16.14) (ср. с рис. 16.12).

При в случае устойчивого равновесия . Эти неравенства между коэффициентами системы (16.14) означают, что когда один из конкурентов увеличивает свою численность, то сильнее подавляется его собственный рост, чем рост его конкурента. Если оба вида имеют одинаковые потребности, то один из них скорее всего вытеснит своего конкурента.