15.5. Гомоклинические структуры

Рассмотрим, как ведет себя система из двух нелинейных связанных осцилляторов:

которая была исследована сравнительно недавно [13] с помощью метода детального численного моделирования. Эта система интересна, в частности, для астрофизики — она моделирует поведение звезды в поле галактики с потенциалом

При осцилляторы демонстрируют простое квазипериодическое поведение. Так же будет и при не малых ), но малых начальных энергиях возбуждения (рис. 15.14). На рис. 15.14 изображено сечение плоскостью траекторий в фазовом пространстве системы (15.8); фазовое пространство этой системы можно считать трехмерным, если учесть интеграл энергии (при

Все траектории как бы лежат на гладких поверхностях — торах, т. е. движение системы при любых начальных условиях условнопериодическое. Что произойдет, если мы будем увеличивать энергию колебаний осцилляторов? Прежде всего движение второго осциллятора станет сильно нелинейным — появятся движения, близкие к сепаратрисе одиночного нелинейного осциллятора (ср. рис. 15.1 д). Благодаря наличию вынуждающей силы, пропорциональной уже нельзя сказать, останутся ли они квазипериодическими или тип движения будет меняться — точка будет переходить попеременно из области внутри сепаратрисы в область вне ее.

Результаты численных экспериментов с двумя связанными нелинейными осцилляторами (15.8) при начальных энергиях приведены на рис. 15.14. На рисунке видно, что при превышении начальной энергии , еще соответствующей простым движениям, всего лишь на 0,04 фазовая траектория уже не наматывается ни на какую поверхность, а, похоже, случайным образом блуждает в ограниченной области фазового пространства! При дальнейшем увеличении область, занятая случайными движениями, расширяется, а занятая периодическими или квазипериодическими движения — сужается (рис. 15.14 б).

(см. скан)

Рис. 15.14. Следы траекторий на секущей плоскости фазового пространства системы (15.8) при и сложные движения системы двух нелинейных осцилляторов (15.8) при

Итак, движение в трехмерном фазовом пространстве связанных нелинейных осцилляторов может быть очень сложным.

Откуда появляется эта сложность? Попытаемся ответить на этот вопрос, вернувшись к модели нелинейного осциллятора в периодическом поле.

Будем в модели связанных нелинейных осцилляторов считать движение одного из осцилляторов заданным и гармоническим:

При мы про этот осциллятор все знаем (см. рис. 15.1). Рассмотрим его поведение при в трехмерном фазовом пространстве, где третьей координатой является время Физически кажется очевидным, что качественное отличие неавтономных движений от автономных появится в том случае, когда под действием внешней силы осциллятор в разные моменты времени попадает в области с качественно различным характером поведения (на фазовой плоскости этим разным движениям соответствуют области внутри или вне сепаратрисы). Проще всего это увидеть, если синусоиду в (15.9) заменить периодической последовательностью прямоугольных импульсов. Два раза за период фазовый портрет (см. рис. 15.1 д) сдвигается то влево, то вправо на величину порядка Для колебаний малой амплитуды эти пульсации пройдут почти незамеченными — движения останутся простыми. Движения же, близкие к сепаратрисе, могут оказаться сложными (см. гл. 13). Эта сложность связана с существованием в пространстве системы (15.8) гомоклинической структуры [5, 6], открытой Пуанкаре в связи с исследованием задачи трех тел еще в 1889 г. Такая структура возникает лишь в пространстве с в окрестности гомоклинической траектории. Для трехмерного случая соответствующая ситуация показана на рис. 15.15. Полное описание траекторий внутри этой структуры было дано сравнительно недавно [8, 14]. Было, в частности, выяснено, что такая структура содержит счетное множество неустойчивых (седловых) периодических траекторий, между которыми (при широком выборе начальных условии) и блуждает осциллятор.

Приведенный описательный пример иллюстрирует тот факт, что трехмерные динамические системы могут качественно отличаться от двумерных. Эти отличия связаны прежде всего с возможностью

Рис. 15.15. Грубое пересечение устойчивого и неустойчивого многообразий седлового периодического движения Г в а; -пространстве

существования в фазовом пространстве трехмерных систем, как конечного, так и бесконечного числа неблуждающих траекторий (что и характерно для гомоклинической структуры). Если в многомерной системе число состояний равновесия и периодических движений конечно (системы типа Морса-Смейла), то их динамика во многом похожа на динамику двумерных систем — в таких системах могут быть только простые движения. Если же в фазовом пространстве системы существует бесконечное множество различных периодических движений (сюда относится и только что обсуждавшийся пример), то поведение такой системы уже очень сильно отличается от поведения двумерных систем.

Обсудим механизмы возникновения и некоторые свойства гомоклинических структур. Вернемся к неавтономному осциллятору (15.9). При возникает седловое периодическое движение (рис. 15.15). В фазовом пространстве ему соответствует траектория, проходящая в моменты через начало координат. Устойчивая и неустойчивая сепаратрисы теперь становятся поверхностями. Та поверхность, по которой траектории стремятся к периодическому движению, называется устойчивым многообразием та, по которой уходят от него (или стремятся к нему при ), — неустойчивым

Будем описывать поведение траекторий с помощью отображения Пуанкаре. Для этого рассмотрим зависимость координат точек на секущей плоскости как функцию координат на плоскости Отождествим плоскость и будем говорить о точечном отображении плоскости в себя. Оно задается формулой где вектор Если движение периодическое, то и ему на секущей плоскости соответствует неподвижная точка отображения . Седловому периодическому движению на секущей соответствует седловая неподвижная точка, а устойчивому и неустойчивому многообразиям — устойчивая и неустойчивая сепаратрисы. (Эти сепаратрисы состоят из точек пересечения траекторий с секущей По устойчивой сепаратрисе точка стремится к в результате бесконечной последовательности пересечений с секущей плоскостью при по неустойчивой сепаратрисе точка стремится к при Поведение сепаратрис на секущей может быть совершенно иным, чем на фазовой плоскости. Самое важное заключается в том, что на секущей поверхности сепаратрисы могут пересекаться (это поясняет рис. 15.15), причем пересечение сепаратрис в одной точке влечет за собой их пересечение в бесконечном числе точек.

Поясним последнее обстоятельство подробнее. Сепаратрисы на секущей состоят из точек, которые получаются в результате последовательного применения отображения. Если точка принадлежит сразу двум сепаратрисам (устойчивой и неустойчивой), то и все ее образы и прообразы также должны принадлежать двум сепаратрисам сразу. Следовательно, устойчивая и неустойчивая сепаратрисы должны иметь счетное множество общих точек, т. е. точек пересечения. Ясно, что вблизи неподвижной точки, где движение экспоненциально замедляется, точки пересечения инвариантных многообразий должны сгущаться. В результате на секущей поверхности получается картина, подобная той, что на рис. 15.16. Точки пересечения сепаратрис на секущей принадлежат двоякоасимптотической траектории, которую Пуанкаре назвал гомоклинической. При эта траектория сматывается и наматывается на исходное периодическое движение. Окрестность гомоклинической траектории в фазовом пространстве называют гомоклинической структурой. В такой структуре имеется бесконечное разнообразие траекторий, среди которых наряду с периодическими есть и случайные. Полное описание траекторий, принадлежащих гомоклинической структуре, было дано сравнительно недавно на языке символической динамики [14].

Подчеркнем еще раз, что в -пространстве сепаратрисы представляют собой поверхности, пересекающиеся по кривой. Такое пересечение не исчезает при малом изменении параметров физической системы, т. е. является грубым. Грубой является и гомоклиническая структура.

Рис. 15.16. Гомоклиническая траектория на секущей плоскости Заштрихованы участки гомоклинической структуры, отображающиеся друг в друга

Если проследить за эволюцией маленького фазового объема в окрестности гомоклинической кривой, мы заметим, что со временем он сложным образом деформируется и при расплывется по всей структуре (рис. 15.16). Отсюда следует локальная неустойчивость почти всех траекторий внутри структуры — точки, бывшие в момент сколь угодно близко друг к другу, с ростом расходятся. Такая локальная неустойчивость траекторий, заключенных в ограниченный фазовый объем, и влечет за собой сложность, запутанность движения

внутри гомоклинической структуры. Подробно эти движения в динамических системах мы будем обсуждать в гл. 22 и 23.

Хотя связанное с существованием гомоклинической структуры сложное поведение динамической системы открыл еще А. Пуанкаре [15] соответствующее изображение структуры (рис. 15.16) появилось много позже [9].

Если в фазовом пространстве системы существует гомоклиническая структура, то это фактически гарантия того, что динамика системы будет сложной (см. гл. 22). Приведем здесь удобный критерий существования гомоклинической структуры для близких к консервативным систем типа (15.9), принадлежащий В. К. Мельникову [9]. В качестве исходных рассмотрим уравнения неавтономного осциллятора в виде

Пусть при в этой системе на фазовой плоскости существует замкнутая сепаратрисная петля (см. рис. 15.10 а). Критерий возникновения при в фазовом пространстве системы (15.10) гомоклинической структуры заключается в определении знакопеременности функции, характеризующей расстояние между сепаратрисами. В случае эта функция, которую называют функцией Мельникова или функцией «щели», может быть приближенно записана в виде

Здесь — решение невозмущенной системы, соответствующее петле сепаратрисы, — параметр, характеризующий положение точки на этой сепаратрисе. С конкретным применением данного критерия мы встретимся в гл. 23 [11].