19.4. Неодномерные солитоны

Мы рассмотрели лишь простейший пример солитонов — либо одномерные стационарные уединенные волны в одномерных распределенных системах (линиях передачи), либо плоские волны, профиль которых меняется лишь вдоль направления распространения (например, солитоны на мелкой воде, описываемые уравнением Кортевега-де Вриза). В то же время очевидно, что и на мелкой воде, и на стекающей пленке жидкости (см. гл. 24), и при распространении ионно-звуковых солитонов в плазме солитоны и солитоноподобные решения в общем случае должны зависеть еще и от поперечной координаты, т. е. должны быть, как минимум, двумерными. Простейшей из моделей, в рамках которых описываются подобные солитоны, является обобщение уравнения Кортевега-де Вриза, предложенное Кадомцевым и Петвиашвили:

Уравнение Кадомцева-Петвиашвили может быть получено, например, для потенциальных акустических волн в предположении слабой дисперсии и нелинейности из волнового уравнения

Здесь — потенциал скорости, с — скорость звука в среде, характеризует дисперсию имеет смысл длины расплывания волнового пакета). Знак дисперсии может быть как положительным так и отрицательным Будем интересоваться волнами, профиль которых становится круче под действием нелинейности. Такое изменение профиля происходит лишь в направлении распространения, поэтому зависимость от остальных координат можно считать медленной, т. е. искать решение в виде

Подставляя (19.22) в (19.21) и оставляя лишь слагаемые первого порядка малости (порядка нелинейности и дисперсии), получаем

Это уравнение совпадает по виду с (19.20), если положить

Уравнение (19.24) имеет решение в виде одномерного солитона:

который характеризуется шириной — условие применимости уравнений (19.21), (19.24)) и скоростью . Решение (19.25) описывает стационарную волну в системе отсчета, движущейся вдоль х со скоростью звука с. Поэтому при положительной дисперсии солитон движется с дозвуковой скоростью и имеет отрицательную амплитуду. Если же то амплитуда солитона положительна, а скорость превышает скорость звука.

Знак дисперсии в данном случае определяет и устойчивость одномерного солитона к неодномерным возмущениям [17] — при неодномерные возмущения нарастают, при одномерный солитон устойчив. Строго результат об устойчивости одномерного солитона в модели Кадомцева-Петвиашвили доказывается методом обратной задачи [22]; мы здесь лишь поясним этот результат с помощью самых простых соображений. Линеаризуя (19.24) вблизи тривиального решения, находим, что фазовая скорость квазигармонических неодномерных возмущений с волновым вектором равна

Видно, что в среде с положительной дисперсией скорость возмущений всегда больше скорости солитона, т. е. он должен отдавать энергию обгоняющим его малым двумерным возмущениям среды — это и объясняет неустойчивость солитона в среде с . В случае же колебания солитона затухают за счет излучения отстающего от него звука — в среде с отрицательной дисперсией солитон устойчив по отношению к неодномерным возмущениям.

Приведем здесь точное решение уравнения (19.24) в виде двумерного солитона, полученное вначале численно, а затем аналитически [17]. Для этого уравнение (19.24) для стационарных решений перепишем в безразмерной форме

Тогда двумерный солитон дается выражением

Заметим, что сейчас высказываются весьма убедительные предположения, в соответствии с которыми замечательная особенность атмосферы Юпитера — его Большое Красное пятно — это двумерный солитон Россби. В гл. 5 мы познакомились лишь с линейными волнами Россби — волнами во вращающейся атмосфере. Если при простейших идеализациях (атмосфера представляется несжимаемой жидкостью, глубина которой много меньше характерных масштабов возмущений, а угловая скорость вращения планеты достаточно велика) учесть нелинейность, то для отклонения глубины атмосферы от равновесного значения получается двумерное нелинейное уравнение

, где — характерный масштаб возмущения, — радиус планеты, а (а — широтный угол), — меридиональный угол, — масштаб Россби-Обухова, — скорость дрейфа Россби, вызванная неоднородностью силы Кориолиса по широте, — единичный вектор вдоль вертикали. Уравнение (19.27) имеет решение в виде двумерного солитона [18]:

где Видно, что характерный размер (радиус) солитона превышает и уменьшается с ростом его безразмерной амплитуды Скорость солитона примерно в раз больше скорости Россби уо-Если зависимостью I от широты пренебречь, то солитон становится одномерным — переменные меняются лишь в зависимости от (расстояния в горизонтальной плоскости до центра солитона).

Как видно из (19.28), чем меньше тем больше скорость солитона и тем больше его амплитуда и меньше размер солитона — вихря. Можно показать [18], что вращение вихря и направление его движения противоположны направлению вращения планеты, т. е. это антициклон. Как и в антициклоне, давление в середине вихря больше, чем на краях.

Подобный солитон недавно был смоделирован в лаборатории [19]. Исследовалась «мелкая вода» во вращающемся вокруг вертикальной

Рис. 19.11. Солитон Россби: а — установившийся солитон; распад начального возмущения на два солитона [19]

Рис. 19.12. Картина течений в тонком слое вращающейся жидкости при наличии сдвига скорости: а — при циклоническом сдвиге; б, в — при антициклоническом сдвиге. На фоне черного дна параболоида отчетливо видны солитоны Россби [23]

оси симметрии цилиндре с параболическим профилем дна. Неоднородность дна необходима для имитации эффектов, связанных с градиентом силы Кориолиса. Параболический профиль сосуда определяется тем,

что только в параболоиде (при постоянной скорости вращения) удается реализовать вращающийся слой жидкости, глубина которого не зависит от координат, и изучать дрейф солитонов при . На рис. 19.11 приведены некоторые результаты очень интересной работы [19]. Ее авторами, в частности, было обнаружено, что в тонком слое равномерно вращающейся жидкости действительно могут существовать долгоживущие солитоны — вихри типа (19.28), проходящие без расплывания за время жизни, определяемое вязкостью, расстояние, на порядок большее их параметра. Замечательно, что если созданное вначале возмущение слишком велико, то оно затем распадается на несколько более мелких (зональных) течений (рис. 19.11б).

Подчеркнем, что подобные солитоны могут возникнуть самопроизвольно благодаря развитию собственной неустойчивости в системе. Так, в недавних экспериментах [23] было обнаружено, что неустойчивость Кельвина-Гельмгольца, связанная с наличием перегиба скорости в профиле течения, может привести к генерации антициклонических солитонов Россби (рис. 19.12). Эти солитоны дрейфуют против направления вращения системы. По свойствам и условиям существования такой солитон подобен Большому Красному пятну Юпитера [23, 29].