20.2. Самомодуляция. Возвращаемость

Поставим простой эксперимент — на границу LC-линии передачи (см. рис. 4.6, где следует считать ) подадим синусоидальное колебание, частота которого лежит в области сильной дисперсии (см., например, пологую часть дисперсионной кривой рис. 4.8), т. е. возникающие из-за нелинейности гармоники не находятся в синхронизме с основной волной (следовательно, не нарастают). Какое колебание мы будем наблюдать на выходном конце линии? Ответ в виде осциллограмм представлен на рис. 20.2 — колебания оказываются модулированными [8]. Это и есть упоминавшееся во введении явление самомодуляции — модуляция возникает в результате развития

Рис. 20.2. Самомодуляция волны в нелинейной линии передачи при

вдоль линии передачи параметрической неустойчивости, которая в данном случае приводит к появлению волн-сателлитов с близкими к несущей частотами. Именно этой неустойчивости и соответствует комплексность скоростей распространения волн модуляции, о которой мы только что говорили. Подобную разновидность параметрической неустойчивости (на языке гл. 11 — это вторая зона неустойчивости) в теории нелинейных волн называют модуляционной неустойчивостью.

Чтобы описать модуляционную неустойчивость и родственные ей явления, мы обратимся к основному уравнению теории модулированных волн в нелинейных средах — нелинейному параболическому уравнению, или нелинейному уравнению Шредингера; оно включает в себя уравнения (20.6), (20.7) как частный случай:

Здесь а — комплексная амплитуда волны; k — ее волновое число; лапласиан по поперечным координатам характеризует вид и величину нелинейности среды. Например, для световых волн — величина, пропорциональная нелинейной поправке к показателю преломления. Для более простого случая плоских волн вместо (20.8) мы будем использовать уравнение

где . Слагаемые в скобках описывают волны модуляции, бегущие в линейной среде без дисперсии с групповой скоростью слагаемое со второй производной (параболическое слагаемое) пропорционально и ответственно за дисперсионное расплывание, а коэффициент В ответствен за величину и знак нелинейности

Уравнения (20.8) и (20.9) — это уравнения второго приближения асимптотического метода для квазигармонических волн (см. гл. 17). Эти уравнения нетрудно получить, подобно уравнениям (17.30) (см. также если запастись некоторым терпением и аккуратно проделать все арифметические выкладки. Мы здесь, однако, воспользуемся более простым и наглядным выводом [6, 10], который основывается на уже знакомых уравнениях (20.1), (20.2). Перепишем здесь (20.2) в виде (напомним, что речь идет о квазигармонических волнах)

и введем комплексную амплитуду (огибающую)

где — волновое число и частота гармонической волны, на фоне которой и существуют наши волны модуляции). Если теперь правую часть дисперсионного уравнения (20.3) разложить в ряд вблизи ко и приравнять нулю то после подстановки этого разложения и выражения (20.11) в (20.1) и (20.10) получим искомое уравнение (20.9). Проделаем это на примере слабонелинейных гравитационных волн, нелинейное дисперсионное уравнение

для которых было получено еще Стоксом в середине прошлого века:

Полагая, что разложим правую часть этого выражения в ряд

где — закон дисперсии гравитационных волн в линейном приближении (см. гл. 5). После подстановки (20.13), (20.11) в (20.10), (20.1) найдем нелинейное параболическое уравнение (20.9)

в котором для модулированных гравитационных волн на глубокой воде

Уравнение (20.8), описывающее неодномерные волны модуляции, получается совершенно аналогично, только к следует считать вектором и при разложении в ряд вблизи ко необходимо учитывать его поперечные составляющие (при этом . Предлагаем читателю проделать это самостоятельно на уже рассмотренном примере гравитационных волн.

Уравнение (20.9) сейчас является одном из основных уравнений «нелинейной физики» — оно описывает эволюцию оптических волн в нелинейных кристаллах, ленгмюровских волн в плазме, тепловых волн в твердых телах и многое другое. Это уравнение, в частности, связано с известным и теории сверхпроводимости уравнением Гинзбурга-Ландау [12].

Опишем здесь на основе этого уравнения три основных явления, наблюдаемых при распространении одномерных квазигармонических волн в слабонелинейных средах, — модуляционную неустойчивость, существование стационарных волн огибающих (в том числе солитонов) и периодически повторяющийся во времени и пространстве возврат слабомодулированной волны (в процессе эволюции приближающейся к периодической последовательности солитонов) к исходному — слабомодулированному состоянию.

Модуляционная неустойчивость, как мы сейчас увидим, возможна только при определенном соотношении знаков нелинейности и дисперсии

групповой скорости:

Понять физический механизм этого ограничения (обычно называемого условием Лайтхилла) проще всего, если рассматривать эффект самомодуляции не на пространственно-временном языке, а на спектральном, ограничиваясь анализом взаимодействия лишь трех волн осцилляторов, образующих волну с синусоидальной модуляцией.

Для комплексных амплитуд несущей и симметрично расположенных относительно нее спектральных сателлитов из (20.9) получаются уравнения вида (амплитуды сателлитов предполагаются малыми)

Здесь учтено, что ввиду спектральной близости сателлитов расстройка Таким образом, мы вернулись к задаче о параметрической неустойчивости. Параметрический инкремент, с которым нарастает амплитуда сателлитов в заданном ноле несущей,

Поскольку пространственный масштаб модуляции может быть произволен, необходимое (а при достаточное) условие модуляционной неустойчивости есть

Теперь уже очевиден и его физический смысл: чтобы модуляционная неустойчивость появилась, нелинейная расстройка от синхронизма, пропорциональная должна скомпенсировать линейный рассинхронизм, пропорциональный . Естественно, что это возможно лишь при не слишком больших Согласно (20.16) параметрический инкремент почти линейно растет с ростом от нуля, затем достигает максимума и довольно быстро падает до нуля при , где . Для коротковолновой модуляции нелинейная расстройка не в состоянии скомпенсировать дисперсионное расплывание, и углубления модуляции происходить не будет (инкремент становится мнимым).

Явление самомодуляции читатель, возможно, наблюдал на море, глядя на цуги ветровых волн. Это явление имеет отношение к объяснению поверья «девятого вала» [13].

Нелинейная стадия развития модуляционной неустойчивости зависит от асимптотики начального возмущения при Если это возмущение достаточно быстро спадает на бесконечности, то, как и для волновых импульсов самого поля (их эволюция в одноволновом приближении описывается уравнением Кортевега-де Вриза), начальный импульс волны модуляции произвольной формы при распадается на солитоны (это, конечно, «радиосолитоны» — они с высокочастотным заполнением) и осциллирующий «хвост». Как и для аналогичной задачи, описываемой уравнением этот «хвост» содержит мало энергии по сравнению с энергией, запасенной в солитонах, и принципиален лишь при рассмотрении процессов взаимодействия солитонов друг с другом (см. гл. 19). Число солитонов зависит от формы начального профиля. Строго проблема эволюции локализованного в пространстве начального возмущения решается с помощью метода обратной задачи рассеяния [14]; здесь же мы приведем лишь решение уравнения (20.9) в виде уединенных стационарных волн модуляции (волн огибающей)

где А — амплитуда солитона; V — его скорость в системе координат, движущейся с групповой скоростью Хоифо — начальные координата и фаза солитона. Это решение получается следующим образом. В (20.9) нужно перейти к действительным переменным А и затем, полагая, что амплитуда и фаза движутся с постоянными скоростями соответственно (для существования решения в виде солитона необходимо [16]), получить для них дифференциальные уравнения в обыкновенных производных. Эти уравнения легко интегрируются и сводятся к одному уравнению нелинейного осциллятора [15], решение которого и записывается в виде (20.13). Эти уравнения помимо солитонного решения — импульса огибающей имеют еще решение в виде уединенного провала — волны затемнения [15]. Предлагаем провести интегрирование самостоятельно, обращаясь за справками в [16].

Подчеркнем, что в отличие от обычного солитона скорость и амплитуда солитона огибающей являются независимыми параметрами. Экспериментально появление таких солитонов и их взаимодействие друг с другом исследовалось для волн на глубокой воде в работе [11].

Рис. 20.3. Волны модуляции на поверхности глубокой жидкости: а — стационарные волны; б - явление возвращаемости

Если же начальное возмущение не локализовано в пространстве, а, например, периодическое, характер его эволюции будет совершенно иной — нарастающие в результате модуляционной неустойчивости синусоидальные волны модуляции будут нелинейным образом искажаться: на периоде волны образуются одни или несколько солитонов, но затем солитоны сглаживаются, и волна вновь приходит в начальное состояние, потом все повторяется и т. д. Явление возвращаемости наблюдалось экспериментально и для обсуждаемого нами примера — гравитационных волн на глубокой воде [11, 17, 45]. Соответствующие численные результаты представлены на рис. 20.3 [11, 18, 19, 45]. На рис. 20.4 показаны результаты физических экспериментов с нелинейными LC-цепочками, которые приближенно описываются уравнениями типа с кубичной нелинейностью. При синусоидальном возбуждении цепочки на границе наблюдалась почти полная возвращаемость вдоль цепочки; синусоида трансформировалась в периодическую последовательность солитонов, т. е. возбуждалось большое число осцилляторов-гармоник, затем солитоны вновь превращались в синусоиду — все гармоники возвращали энергию первой гармонике. Впервые этот эффект в численном эксперименте наблюдали Ферми, Паста и Улам [20]. Они пытались подтвердить гипотезу о том, что в системах с очень большим числом степеней свободы наличия даже слабой нелинейности достаточно, чтобы энергия, запасенная в отдельных степенях свободы (модах), равнораспределилась по всем модам (перемешивание) и таким образом установилось бы термодинамическое равновесие (тер-мализация). Ферми, Паста и Улам экспериментировали с моделями нелинейных линейных цепочек из большого числа частиц и термализации

Рис. 20.4. Периодическая эволюция нелинейных волн в LC-цепочках; синусоидальная волна, запускаемая в линию, превращается в последовательность мпульсов, по форме близких к солитонам (1-4), после чего сильно нелинейная волна вновь переходит в синусоиду (5, 6)

не обнаружили — система периодически возвращалась в состояние с начальным распределением энергии (парадокс Ферми-Паста-Улама).

При осмысливании этого парадокса возникают два вопроса: первый и главный — почему нет перемешивания; второй — почему система не приходит к какому-либо равновесному состоянию (например, последовательности солитонов), а периодически колеблется? Прежде чем ответить на эти вопросы, напомним, что рассматриваемые системы консервативны, т. е. в фазовом пространстве соответствующих им конечномерных моделей (из N взаимодействующих гармоник) не может быть ни асимптотических устойчивых состояний равновесия, ни каких-либо других аттракторов (предельных траекторий или множеств траекторий, возможных в системах, где есть сжатие фазового объема). Однако в фазовом пространстве таких систем, как мы увидим в гл. 22 и 23, даже при небольшом числе N возможно существование хотя и не притягивающих, но занимающих достаточно большую область в фазовом пространстве множеств, устроенных очень сложно, движение внутри которых и отвечает нашим интуитивным представлениям о перемешивании. Обсуждаемые нами сейчас системы принадлежат к классу вполне интегрируемых систем, в которых существование подобных сложных (перемешивающих) областей в фазовом пространстве невозможно.

Близостью модели, с которой экспериментировали Ферми, Паста и Улам, к вполне интегрируемой системе и объясняется тот феномен, что они не наблюдали термализации.

Полная интегрируемость нелинейного уравнения Шредингера с периодическими граничными условиями доказана и работе [21]. Нелинейная волна модуляции в этом случае имеет дискретный спектр, причем из-за дисперсии групповой скорости спектр можно считать ограниченным (сателлиты с высокими номерами нерезонансны и поэтому не нарастают). В такой ситуации естественно перейти от пространственно-временного описания к спектральному, рассмотрев взаимодействие нескольких (в простейшем случае трех спектральных составляющих. При этом предполагается выполнение в среде с кубичной нелинейностью условий синхронизма , где — малая расстройка от точного синхронизма.

Уравнения для амплитуд получаются точно так же. как, например, и уравнения для амплитуд основной волны и ее второй гармоники, взаимодействующих в среде с квадратичной нелинейностью (см. гл. 17). Мы здесь приведем соответствующую систему в частном случае, когда сателлиты тождественны, т. е.

где а дифференцирование осуществляется по безразмерному времени (модуляционной неустойчивости соответствует ). Воспользовавшись интегралами

можно свести исследование системы (20.18) к анализу движений на фазовой плоскости.

Получившиеся фазовые портреты представлены на рис. 20.5. Для удобства в качестве фазовых переменных взяты Физический смысл имеют лишь траектории, лежащие внутри окружности уход изображающей точки внутрь этой окружности соответствует уменьшению энергии основной

Рис. 20.5. Фазовые портреты консервативной системы, описывающей модуляционный распад основной гармоники на пару одинаковых сателлитов. Координаты состояний равновесия:

моды и генерации сателлитов. Видно, что это возможно лишь при выполнении условия (20.14) и, кроме того, при достаточно большой энергии, запасенной в основной моде. При возможна полная передача энергии сателлитам — сепаратрисы идут с окружности и состояние равновесия (рис. 20.5 в), при — лишь частичная (рис. 20.5 б). При малой энергии основной волны (или при модуляционной неустойчивости нет (рис. 20.5а-в).

Явление возвращаемости описывают траектории на рис. 20.5 в, близкие к сепаратрисам: вначале энергия почти полностью передается сателлитам, затем возвращается основной моде и так далее. Солитонам в данной модели соответствуют те состояния равновесия, координаты которых указаны в подписи к рис. 20.5.

Рис. 20.6. Непериодический (а) и периодический (б) обмен энергией между основной модой (1) и сателлитами (2, 3, 4)

Заметим в заключение этого параграфа, что эффект возвращаемости наблюдается и в более сложных ситуациях, например когда модулированные высокочастотные волны взаимодействуют с низкочастотными. На рис. 20.6 приведены результаты эксперимента [23] по взаимодействию таких волн в линии передачи. Описывающие эту «среду» усредненные по быстрым осцилляциям уравнения аналогичны уравнениям для ленгмюровских и ионно-звуковых волн в плазме [24]:

Здесь а — амплитуда высокочастотной (ленгмюровской) волны; характеризует поле низкочастотной (ионно-звуковой) волны; — частота, вблизи которой проведено усреднение; - скорость низкочастотной волны; (где I — характерный размер высокочастотных волновых пакетов); характеризуют затухание волн.

В этом эксперименте на границе «полубесконечной» линии (линии из 50 ячеек, согласованной на конце) возбуждались монохроматическая «ленгмюровская» (с частотой ) и «ионно-звуковая» (с частотой ) волны. В процессе распространения ленгмюровская волна становилась модулированной — возникало несколько десятков сателлитов, затем в зависимости от соотношений устанавливался либо режим стационарного распространения ленгмюровских солитонов (рис. 20.6 а), либо режим, соответствующий возвращаемости — происходил периодический обмен энергией между сателлитами и несущей (рис. 20.66). В этой системе наблюдались и более сложные режимы непериодического обмена энергией, к обсуждению которых мы вернемся в гл. 23.