Глава 17. Резонансное взаимодействие осцилляторов

17.1. Взаимодействие трех связанных осцилляторов в системе с квадратичной нелинейностью

Рассмотрим одну из основных и в то же время элементарных задач теории нелинейных колебаний и волн — взаимодействие трех связанных осцилляторов с квадратичной нелинейностью. При отсутствии нелинейности, как мы знаем, в системе из трех связанных осцилляторов будут происходить движения, представляющие собой просто суперпозицию колебаний на трех нормальных частотах Уравнения системы, записанные в нормальных координатах, имеют вид . Наличие слабой нелинейности приведет к появлению малых правых частей в уравнениях, т. е.

Естественно задать два вопроса: 1) почему мы выбрали для анализа взаимодействие именно трех осцилляторов и 2) почему ограничиваемся квадратичной нелинейностью? Эти вопросы связаны друг с другом. Действительно, если имеется функциональная нелинейная зависимость какой-либо величины, например, от напряжения (нелинейность, хотя и произвольная, но слабая), то эта зависимость может быть представлена в виде ряда по степеням напряжения. В нашем случае (рис. 17.1 а) заряд зависит от напряжения поэтому

Таким образом, если нелинейность слабая, то квадратичное слагаемое — это первое слагаемое, которое может дать нетривиальный эффект. В то же время благодаря нелинейности в системе порождаются новые комбинационные частоты, причем при квадратичной нелинейности простейший процесс такого типа — это образование суммарной или разностной частот. Появившиеся

Рис. 17.1. Возможная модель взаимодействия трех связанных осцилляторов (а); дисперсионные диаграммы, иллюстрирующие резонансное взимодействие трех связанных волн-осцилляторов (например, взаимодействие высоко- и низкочастотных электромагнитных волн в среде, состоящей из осцилляторов с собственной частотой и связь частот и волновых векторов при вынужденном рассеянии Манделыптама-Бриллюэна вновь (из-за нелинейности) комбинационные составляющие в дальнейшем, конечно, тоже могут принять участие в процессе взаимодействия, но только в том случае, если их амплитуды не слишком малы. Для того чтобы генерируемые слабой нелинейностью «новые» компоненты имели не малую амплитуду, их частоты должны быть резонансными, т. е. должны быть близки к нормальным частотам системы. Отсюда следует, что простейший акт взаимодействия на квадратичной нелинейности может происходить лишь при условии, что нормальные частоты системы удовлетворяют условию резонанса

Может иметь место, правда, вырождение — в случае, когда и можно рассматривать систему с двумя нормальными частотами но это уже частный случай (мы рассмотрим и его). Без нарушения общности в условии резонанса (17.2) можно оставить только знак

Таким образом, при слабой нелинейности взаимодействие трех осцилляторов в системе с сосредоточенными параметрами или трех нормальных мод резонатора может быть эффективным лишь в случае, когда выполнено условие (17.2). Причем, если мы рассматриваем среду с дисперсионной характеристикой такой, как на рис. 17.16, в, то условие резонанса в этом случае должно быть выполнено не только для частот, но и для волновых чисел: Итак, для слабонелинейной консервативной системы с тремя степенями свободы исходные уравнения можно записать в виде (17.1). Воспользуемся для их решения асимптотическим методом (см. гл. 16), отыскивая решение в виде

После подстановки решения (17.3) в систему уравнений (17.1) и разделения членов с разными порядками малости получим уравнение для поправки характеризующей степень отличия приближенного решения от точного:

Чтобы ошибка не нарастала, как мы видели, необходимо и достаточно, чтобы правая часть уравнения (17.4) не была резонанса на частоте или чтобы правая часть уравнения была ортогональна собственным функциям (17.4) при Из этого условия получим уравнение для амплитуд

или

где угловыми скобками обозначено усреднение за период времени Т. В нашем случае квадратичной нелинейности может быть представлена соотношением

Так как мы искали решение для в форме (17.3), то в нелинейную функцию будут входить осциллирующие сомножители Очевидно, что вклад в правую часть уравнений (17.5) дадут слагаемые и так как все другие комбинации будут содержать множители которые при усреднении обращают в нуль соответствующие слагаемые в Окончательно после усреднения получим три уравнения для комплексных амплитуд:

Эта система точно интегрируется в эллиптических функциях Якоби, но сейчас мы попробуем разобраться в поведении системы качественно, не решая ее. Сделаем замену

Тогда получим в новых переменных (индекс «н» будем опускать)

Без ограничения общности величину а можно считать положительной. Умножим каждое уравнение из (17.6) на и сложим с комплексносопряженным ему, воспользовавшись тем, что . В результате получим соотношения

где характеризует интенсивность колебаний в моде, или на нормальной частоте; по аналогии с квантовой механикой часто называют числом квантов. Из (17.7) легко получить два независимых интеграла движения и третий, представляющий собой следствие первых двух:

Эти соотношения называются соотношениями Мэнли-Роу. Из них следуют важные выводы.

1. Если при энергия была запасена в основном лишь в одной первой (или второй) моде, т. е. или то при любом интенсивность колебаний на суммарной частоте будет незначительной. Действительно, если то, казалось бы, она может вырасти за счет уменьшения так как Однако тогда должна уменьшаться и потому что — малая величина; следовательно, не может вырасти больше, чем на величину при этом в момент будем иметь Таким образом, энергия высокочастотного колебания возрасти за счет одного лишь низкочастотного не может, хотя это в принципе и не противоречит закону сохранения энергии. Закон сохранения энергии можно получить, умножив уравнения (17.7) соответственно на Тогда, суммируя их, получаем

Но следовательно, или

2. Если при энергия была запасена, в основном, в высокочастотной моде, т. е. то картина иная: из интегралов (17.8) следует, что за счет могут одновременно вырасти т. е. от высокочастотной моды к низкочастотным энергия перейти может. Такой процесс называют распадом или распадной неустойчивостью. Мы получили, что низкочастотная мода не передает энергию высокочастотной, а высокочастотная мода может распадаться, т. е. ее энергия может передаваться низкочастотным модам. Это легко пояснить на языке квазичастиц. Закон сохранения энергии не противоречит распаду низкочастотных мод, однако важно еще, чтобы этот закон выполнялся и в элементарном акте взаимодействия квазичастиц: — энергия кванта на частоте При большом в начальный момент времени числе

Рис. 17.2. Осциллограммы интенсивностей колебаний на нормальной частоте

квантов с частотой и малом с частотой число квантов с частотой в процессе взаимодействия остается малым (квантам с частотой не с чем сливаться). Распаду же квантов с частотой на кванты с частотами ничто не препятствует. На рис. 17.2 а изображены осциллограммы интенсивностей для случая, когда в начальный момент максимальна низкочастотная мода Рис. 17.2 б иллюстрирует случай

На основании квантовой аналогии можно сделать еще один важный вывод: если параметры системы медленно изменяются, то величины (17.8) являются адиабатическими инвариантами. Итак, квантовые осцилляторы при медленном изменении параметров не меняют свой квантовый номер, т. е. число квантов при отсутствии слияний или распадов — это адиабатический инвариант. Когда же слияние или распад есть, то сохраняется при медленном изменении параметров неиспользованная в процессе слияния разница , конечно, сумма уже родившихся к моменту квантов и еще не истраченных к этому времени квантов также будет адиабатическим инвариантом.

В частном случае постоянной разности фаз колебаний для системы (17.6), описывающей взаимодействие слабонелинейных осцилляторов, легко построить фазовый портрет. Полагая в получаем

где . Будем считать, что Тогда систему (17.9) можно записать в виде

В этом частном случае мы можем выяснить ход фазовых траекторий в трехмерном фазовом пространстве Они будут располагаться на поверхности постоянной энергии — на эллипсоиде

с полуосями . Фазовые траектории получаются при пересечении этого эллипсоида с поверхностями Вблизи осей (рис. 17.3) фазовые траектории (типа 1) представляют собой

Рис. 17.3. Фазовый портрет системы, описывающей взаимодействие трех слаболинейных осцилляторов в трехмерном фазовом пространстве

эллипсы, т. е. каждая из мод при малом возмущении действительно совершает небольшие колебания вблизи начального значения. Мода же максимальной частоты может распадаться, т. е. полностью передавать свою энергию модам (траектория типа 2). Наши уравнения (17.10) совпадают с уравнениями Эйлера, которые описывают свободные движения твердого тела с закрепленной точкой, моменты инерции которого относительно главных осей удовлетворяют соотношению Эти уравнения имеют вид [2]

Вращение тела вокруг оси со средним значением момента инерции 12 неустойчиво, т. е. это — аналог распадной моды

В случае систему (17.6) можно проинтегрировать, считая, что Это так называемое приближение заданного поля. Тогда уравнения (17.6) можно записать так: Отсюда будут изменяться периодически в соответствии с формулами

Если же то выяснить закон изменения амплитуд можно для малых Действительно, при этом

Отсюда растут по экспоненте. Однако из соотношений Мэнли-Роу (17.8) следует, что этот рост будет ограничен значением

Приведем здесь решение системы (17.9) в общем случае произвольной начальной разности фаз Последнее из уравнений (17.9) запишем в виде

Интегрируя это уравнение, находим Используя этот интервал и соотношения Мэнли-Роу (17.8), из (17.9) получим уравнение для

Если три корня уравнения расположить в убывающем порядке, то уравнение для можно преобразовать к виду

. Интеграл в правой части заменой переменных сводится к эллиптическому

откуда . В итоге для получаем общее решение

Читателю предоставляется самостоятельно получить из этого общего решения рассмотренные нами выше частные случаи.

Завершая этот параграф, остановимся кратко на особенностях вырожденного резонансного взаимодействия осцилляторов с частотами . Рассмотрим в качестве примера резонансное взаимодействие нелинейно связанных колебаний в простой модели — пружинном маятнике (рис. 17.4 а), уравнения для которого в пренебрежении трением имеют вид

При решении методом усреднения было обнаружено, что при соотношении параметров т. е. когда происходит периодическая перекачка энергии из угловых колебаний в вертикальные и наоборот (рис. 17.46), что и было тут же подтверждено экспериментально.

Рис. 17.4. Пружинный маятник (а) и периодический обмен энергией между угловыми и вертикальными колебаниями (б)

Р. В. Хохлов, решая задачу о стационарном нелинейном режиме работы параметрического усилителя бегущей волны, нашел, что при распространении вдоль усилителя волна накачки параметрически усиливает начальную волну передавая ей почти всю свою энергию [1, 4, 5, 8].

В процессе дальнейшего распространения происходит обратное — интенсивная волна генерирует вторую гармонику, и затем вновь все повторяется сначала, т. е. наблюдается явление периодического обмена энергией между гармониками (рис. 17.46).

В самом простом случае, соответствующем системе уравнений (17.6), при (условие синхронизма выполняется всюду точно; взаимодействие называется вырожденным) имеем

Характер взаимодействия, описываемого этой системой, совершенно иной, чем в рассмотренном выше невырожденном случае.

Отличия таковы. 1) Если в начальный момент в системе было возбуждено только колебание основной частоты то с течением времени появляется и колебание на гармонике энергия первой моды будет перекачиваться в энергию ее второй гармоники, процесс слияния квазичастиц будет происходить всегда. 2) В (17.6) скорость нарастания каждой моды зависит только от «чужих» амплитуд, а в вырожденном случае изменение

зависит и от амплитуды собственной. 3) Если при то колебания этой частоты и не появятся.

Рис. 17.5. Фазовые портреты нелинейного осциллятора, описывающие обмен энергией между гармониками в системе с квадратичной нелинейностью:

В предположении слабой нелинейности укороченные (усредненные) уравнения для амплитуд и фаз осцилляторов взаимодействующих во времени или в пространстве, записываются в виде

где Эти уравнения нетрудно свести к уравнению нелинейного осциллятора, если воспользоваться интегралом энергии и ввести новые переменные Фазовые портреты получившегося таким образом осциллятора при различных значениях расстройки приведены на рис. 17.5. Мы видим, что при сделанных предположениях о малости нелинейности (или, что то же самое, малости начальных энергий возбуждения) система из двух нелинейно связанных осцилляторов демонстрирует лишь очень простые — квазипериодические — движения. С физической точки зрения отличие между такими движениями (рис. 17.5) заключается лишь в различной глубине энергетических биении между осцилляторами и различном периоде этих биений.