1.2. Два примера. Фазовый портрет осциллятора

Прежде чем рассматривать движение линейного осциллятора — системы с одной степенью свободы — на фазовой плоскости, приведем еще два нетривиальных, хотя уже и ставших классическими примера линейных осцилляторов, которые встречаются в химии и биологии.

В химии простейшим примером колебательной реакции, протекающей в гомогенной (однородной) среде, является модель Лотки [3, 4], кинетическая схема которой имеет вид

Данная запись соответствует следующей гипотетической реакции. В некотором объеме находится вещество А, расход которого в процессе реакции почти незаметен (в этом случае говорят, что А находится в избытке). Происходит превращение молекул вещества А в молекулы вещества X. Эта реакция нулевого порядка протекает с постоянной скоростью ко. Далее вещество X превращается в вещество Y с тем большей скоростью, чем больше концентрация молекул вещества Y (это обстоятельство в кинетической схеме отмечено обратной стрелкой над Y). Эта реакция является реакцией второго порядка. Наконец, молекулы вещества Y необратимо распадаются, образуя вещество В (реакция первого порядка). Используя правила составления кинетических уравнений [4] и сохранив для концентрации веществ обозначения X, Y и В, запишем математическую модель реакции Лотки в следующем виде:

Если концентрации X и Y не меняются во времени, то реакция может протекать так, что скорость образования В будет постоянной.

Сказанному соответствуют условия или

где — равновесные концентрации. Из системы (1.6) следует, что

Предположим, что существуют малые отклонения от равновесных значений концентраций т. е. будем считать, что причем Подставляя выражения для в первые два уравнения системы (1.5), учитывая (1.7) и пренебрегая произведениями переменных величин как членами второго порядка малости, получаем

Система уравнений (1.8) легко сводится к уравнению линейного осциллятора (1.1), если формально считать, что Разумеется, нелинейная система уравнений (1.5) богаче решениями, чем уравнение линейного осциллятора (1.1), которое получилось из нее лишь в силу сделанных допущений о малости возмущений концентрации. Мы вернемся к нелинейной модели Лотки как составному элементу более сложных периодических химических реакций (например, реакции Белоусова-Жаботинского).

Второй пример — известная модель экологии «хищник-жертва» (модель Вольтерра [2-5]). В этой модели рассматриваются два вида животных, один из которых питается другим. Соответствующую задачу часто формулируют в виде вопроса: могут ли, например, лисы съесть всех зайцев?

Пусть на замкнутом ареале живут два вида — хищники и вегетарианцы-жертвы. Жертвы (их число ) питаются растительной пищей, имеющейся в избытке, а хищники (их число ) питаются только жертвами. Если жертвы живут на ареале одни и пищи им хватает, то численность этого вида будет увеличиваться:

( — постоянный положительный коэффициент прироста). Заметим, что уравнение (1.9) аналогично рассмотренной выше химической реакции первого порядка. Если бы на ареале жили одни хищники, то из-за

отсутствия пищи они бы вымерли:

— постоянный положительный коэффициент вымирания). Можно допустить, что при совместном проживании видов численность хищников будет увеличиваться тем быстрее, чем больше их частота столкновений с жертвами. Эта частота столкновений пропорциональна Таким образом, для описания численности двух совместно существующих видов мы приходим к системе дифференциальных уравнений

где — положительная постоянная, характеризующая гибель жертв из-за встречи с хищниками; — положительная постоянная, характеризующая размножение хищников.

Подобно тому, как мы поступали в случае модели Лотки, найдем состояния равновесия Из уравнений (1.11) при имеем

Для малых отклонений численности видов от стационарных значений после линеаризации уравнений (1.11) получим

Дифференцируя первое уравнение системы (1.13) по времени и используя второе, приходим к уравнению для гармонического осциллятора:

где (такое же уравнение получается и для . Если в (1.14) ввести обозначение то приходим к уравнению (1.2).

Вернемся к исходной модели. Введем новую переменную и перепишем уравнение (1.2) в виде системы двух уравнений:

Плоскость переменных называется фазовой плоскостью уравнения (1.2). Каждой точке фазовой плоскости («изображающей», или «фазовой», точке) соответствует вполне определенное состояние системы.

Траектория изображающей точки называется фазовой траекторией. Через каждую точку фазовой плоскости проходит одна и только одна траектория. Заметим, что фазовая траектория может состоять всего из одной точки, называемой положением равновесия. Скорость изображающей точки называется диаграммной скоростью. В положении равновесия она равна нулю. Фазовую траекторию и диаграммную скорость не следует смешивать с действительными траекторией и скоростью движения.

Рис. 1.1. Фазовый портрет гармонического осциллятора, описываемого уравнением (1.2): — математический маятник; — электрический контур; — линеаризованная модель «хищник-жертва»; в начале координат — состояние равновесия типа «центр»

Уравнение, определяющее семейство интегральных кривых на фазовой плоскости, имеет вид

Интегрируя (1.16), находим, что интегральные кривые для осциллятора — это набор эллипсов, оси которых совпадают с координатными осями (рис. 1.1):

Параметр С определяется начальными условиями. Дополнив интегральные кривые стрелками, определяющими направления движения (в нашем случае — по часовой стрелке — в верхней полуплоскости получим полный фазовый портрет линейного осциллятора. Одна из фазовых траекторий состоит всего из одной точки, которая соответствует состоянию равновесия. Состояниям равновесия соответствует равенство нулю или отсутствие сил, вызывающих движение, т. е. . В нашем случае состояние равновесия находится в начале координат Это изолированное состояние равновесия, к которому не стремится ни одна траектория, называют центром.

Скорость движения изображающей точки вдоль фазовой траектории (диаграммная скорость) для гармонического осциллятора не зависит от траектории, по которой движется изображающая точка, период обращения всегда равен Рассмотрим ансамбль одинаковых осцилляторов с разными начальными энергиями и одинаковыми начальными фазами (на фазовой плоскости начальные состояния будут изображаться точками на прямой, проходящей через начало координат). Через произвольное время фазы всех осцилляторов по-прежнему будут одинаковы, т. е. движение линейного осциллятора является изохронным.

Рис. 1.2. Фазовый портрет линейной системы с отталкивающей силой, описываемой уравнением (1.18): состояние равновесия — седло; биссектрисы квадрантов — сепаратрисы

Какие еще возможны фазовые портреты для линеаризованных систем с одной степенью свободы? Пусть уравнение осциллятора имеет вид

Такое уравнение описывает, например, малые отклонения маятника от положения равновесия в верхней точке, его фазовый портрет представлен на рис. 1.2 [2]. Как и в предыдущем случае, заменим (1.18) двумя уравнениями первого порядка:

Из (1.19) следует уравнение с разделяющимися переменными:

интегрирование которого дает семейство равносторонних гипербол, отнесенных к главным осям:

(С — постоянная интегрирования). Если , то получаем прямые которые являются асимптотами семейства гипербол (рис. 1.2) и проходят через состояние равновесия, расположенное в начале координат Состояние равновесия в этом случае называется седлом. Здесь имеется аналогия с соответствующим географическим понятием [4]. В горах перевалом (или седлом) называют самую низшую точку между вершинами, к которой стекают потоки с вершин. С перевала потоки обрушиваются в разные долины. «Разнодолинные» потоки разделяет водораздел — линия, проходящая через седло. На нашем фазовом портрете через седло проходят асимптоты гиперболы, которые называются сепаратрисами. Отметим, что состояние движения в окрестности седла, очевидно, неустойчиво. Малые отклонения приводят к большим последствиям (строгое определение устойчивости дано ниже).

Как изменятся движение осциллятора и его фазовый портрет, если существенны потери (трение, вязкость и т.д.), т.е. когда Согласно (1.1) или эквивалентной системе уравнений

Уравнение интегральных кривых имеет вид

Состояние равновесия в этом случае также единственное, и ему соответствует начало координат Для интегрирования (1.23) сделаем замену и перепишем (1.23) в виде

После интегрирования и перехода к старым переменным при достаточно малом затухании, когда находим связь между у их:

которая и позволяет построить фазовый портрет линейного осциллятора с затуханием (С — произвольная постоянная). Скорость изображающей точки при ее движении по фазовой траектории не обращается в нуль нигде, кроме начала координат. Подчеркнем, что при движении по любой траектории скорость изображающей точки стремится к нулю при приближении к точке равновесия. Чтобы лучше понять детали фазового портрета, введем новые переменные и будем считать их прямоугольными координатами. Тогда очевидно, что

и в полярных координатах вместо (1.24) окончательно получим

Поскольку решения уравнения (1.1) известны, легко показать, что значения у их при , следовательно, убывает со временем, а при .

Рис. 1.3. Фазовый портрет линейного осциллятора с малым затуханием: состояние равновесия — устойчивый фокус

Таким образом, фазовые траектории на плоскости представляют собой логарифмические спирали, скручивающиеся к точке равновесия которая называется устойчивым фокусом (рис. 1.3).

При малых значениях витки спирали близки к окружностям которые на плоскости превращаются в эллипсы Следовательно, при малых витки спирали близки на одном обороте к эллипсам с соответствующими значениями так что фазовый портрет на плоскости так же как и на плоскости является семейством логарифмических спиралей с устойчивым фокусом в начале координат. Таким образом, из вида фазового портрета можно сделать вывод о том, что при любых начальных условиях (кроме определяющих состояние равновесия) движение нашей диссипативной системы представляет собой затухающий колебательный процесс. Все спирали на фазовой плоскости асимптотически приближаются к началу координат, а радиус-вектор изображающей точки уменьшается с каждым оборотом спирали.

Рис. 1.4. Фазовый портрет линейного осциллятора, совершающего затухающие апериодические колебания: состояние равновесия — устойчивый узел;

Если то процесс становится затухающим апериодическим (рис. 1.4). Состояние равновесия становится устойчивым узлом Мы предоставляем читателю возможность показать, что в этом случае интегральные кривые определяются уравнением

где (рис. 1.4). Изменение знака (отрицательные трение, сопротивление, проводимость и т. д.) приводит к тому, что состояния равновесия становятся неустойчивыми (рис. 1.5). В системе, описываемой

уравнением (1.19) (система с отталкивающей силой), включение трения, как положительного, так и отрицательного, не изменит принципиально фазового портрета (см. рис. 1.2), так как состояние равновесия — седло.

Рис. 1.5. Фазовые портреты линейного осциллятора при Состояния равновесия неустойчивы

Как известно, решение уравнения (1.1) для имеет вид

где — корни характеристического уравнения Расположение его корней на комплексной плоскости однозначно определяет тип состояния равновесия системы, а следовательно, и движение осциллятора (рис 1.6).

Рис. 1.6. Расположение корней на комплексной плоскости и их связь с типом состояния равновесия системы: — центр; — фокус; в — — фазовый портрет качественно изменяется; — узел; — седло

В случае корни характеристического уравнения чисто мнимые; по мере увеличения они начинают двигаться в левой полуплоскости, оставаясь комплексно-сопряженными. При корни сливаются на действительной оси, а при дальнейшем возрастании распадаются на два действительных корня. Положению равновесия типа «седло» соответствуют два действительных корня разных знаков. Изменение знака приводит к смещению корней в правую полуплоскость, и состояния равновесия становятся неустойчивыми. На рис. 1.7 приведено

Рис. 1.7. Разбиение плоскости параметров на области с различным типом состояний равновесия (расположение корней на комплексной плоскости и соответствующие фазовые портреты)

разбиение плоскости параметров на области с различным типом состояний равновесия. Эта картинка дает почти все, что нужно знать о состояниях равновесия на плоскости.