5.3. Стратифицированная жидкость. Звук в океане

Для описания волн в океане или атмосфере уравнения гидродинамики следует обобщить таким образом, чтобы учесть вращение Земли и стратификацию жидкости, т.е. зависимость плотности жидкости от вертикальной координаты. В частности плотность морской воды зависит от давления, температуры и относительного содержания массы растворенных солей, которые меняются с глубиной [5, 21, 22]. Соответствующее обобщение приводит к тому, что уравнение Эйлера вместо (5.2) примет вид

Здесь — угловая скорость вращения Земли, единичный вектор вертикальной оси координат; заменено на поскольку жидкость находится в поле тяжести.

Предположим теперь, что длины интересующих нас волн много меньше радиуса Земли, и будем решать (5.13) и (5.4) на плоскости, соприкасающейся со сферической Землей в данной точке. Оси соответствующей прямоугольной системы координат направлены следующим образом: ось — вертикально вверх, ось х — по параллели с запада на восток, ось у — по меридиану с юга на север. Линеаризуем уравнения относительно некоторого состояния покоя, в котором плотность и давление суть функции только Пусть где Заметим, что так же как и есть величина первого порядка малости. Тогда из уравнений (5.13) и (5.4) получим

Уравнение состояния (5.8) в линейном приближении имеет вид

или

где — адиабатическая скорость звука. Учитывая, что окончательно получаем

У горизонтального дна нормальная составляющая скорости должна исчезать, поэтому при

где Н — глубина жидкости. На поверхности жидкости давление составляет поэтому что с учетом правой части (5.16) дает при

Воспользуемся в уравнениях (5.14)-(5.16) так называемым приближением Буссинеска: всюду, где не стоит под знаком дифференциала, будем считать причем пусть Решение уравнений (5.14)-(5.16) будем искать в виде (см. [3])

где — частота интересующих нас волн.

Подставляя (5.19) в (5.14)-(5.16), после простых преобразований получаем из (5.14)

из (5.16) имеем

При выводе (5.20)-(5.23) использовано полученное из (5.15) выражение

и определение частоты свободных вертикальных колебаний частиц жидкости, так называемой частоты Вяйсяля:

В уравнениях (5.20) и (5.21) введены следующие безразмерные величины:

где — географическая широта места. С учетом (5.19) граничные условия (5.17) и (5.18) перепишутся так:

Как показано в [3], уравнения (5.20)-(5.23) допускают разделение переменных в двух случаях: и взятые при равном широте места, являются постоянными; это приближение справедливо для волн, на длине которых и меняются мало, — для звуковых, поверхностных, внутренних и инерционных волн; 2) можно пренебречь слагаемыми, содержащими лишь т.е. поскольку

Итак, пусть

— постоянные, что не ограничивает общности решения. Тогда уравнения (5.20) и (5.21) принимают вид

Из этой системы уравнений находим, что

Наконец, из уравнений (5.22) и (5.23), используя (5.29)-(5.31), получаем два уравнения для

где

Учтем теперь, что частота звуковых волн намного превосходит и сила тяжести для этих волн в океане тоже не играет роли. Поэтому в (5.32) и (5.33) можно пренебречь слагаемыми, содержащими Такое пренебрежение дает

Исключая приходим к уравнению

которое является основным в акустике океана.

Хотя изменяется мало с глубиной, наличие, например, минимума на какой-то глубине приводит к образованию подводного акустического волновода, по которому звук низкой частоты от источников (для низких частот поглощение в воде мало) может распространяться на расстояния до нескольких десятков тысяч километров [3, 23].