Глава 8. Скорость распространения волн

8.1. О различных способах введения понятия групповой скорости

Мы уже пользовались хорошо известными из курса общей физики понятиями фазовой и групповой скоростей волн. В простых ситуациях каких-либо дополнительных разъяснений здесь не требуется. Однако в тех случаях, когда среда активна и содержит переменные параметры, вопрос о скоростях распространения волн требует дополнительного обсуждения [1-4].

Если изменение некоторой функции, характеризующей волновой процесс, можно представить в виде где то такая монохроматическая волна распространяется со скоростью

Это — фазовая скорость волны, которая определяет скорость отдельного гребня, впадины или узла волны Если ввести фазу линейную по независимым переменным, то для наблюдателя, движущегося со скоростью Действительно, когда поскольку по определению Однако передать сигнал с помощью монохроматической волны, очевидно, нельзя из-за ее однородности в пространстве и во времени (она должна существовать во все времена от до и на всей оси х от до Таких волн в природе, конечно, нет: у всякого волнового процесса есть начало и конец, т. е. реальный сигнал всегда имеет конечную ширину спектра частот и распространяется в общем случае со скоростью, не равной Пусть теперь мы каким-то образом изменяем амплитуду или фазу волны, чтобы можно было передать информацию. Рассмотрим для определенности задачу с такими начальными условиями: в начальный момент времени волна задана пространственным распределением

причем изменяется медленно по сравнению с Можно ожидать, что волна будет распространяться как волна с постоянной амплитудой т. е. со скоростью Однако в средах с дисперсией это не так. Действительно, представим в виде интеграла Фурье

Тогда

Заметим, что наш интеграл — это непрерывный набор волн постоянной амплитуды, существующих на всей оси х от до . Тогда для группы волн (волнового пакета)

В диспергирующей среде . Медленность изменения по сравнению с означает, что отлично от нуля только для к ко, поэтому функцию можно разложить в ряд и ограничиться двумя членами разложения:

Подставляя (8.3) в (8.2), получаем

или

Если рассматривать как изменяющуюся амплитуду волны, фазовая скорость которой , то изменение амплитуды

распространяется с групповой скоростью

Учтем в разложении функции в ряд еще одно слагаемое по сравнению с (8.3):

Чтобы можно было пренебречь в показателе экспоненты в (8.2) дополнительной фазой должно выполняться неравенство которое можно переписать в виде

Здесь введено расстояние на которое сместилась «амплитуда» за время и использовано равенство где — длина волны. Расстояние — это тот характерный масштаб, на котором справедливо наше рассмотрение; он тем больше, чем меньше . Итак, групповая скорость есть характеристика движения волнового пакета в диспергирующей среде, если пакет еще сохраняет свою форму и размеры, т. е. на расстояниях порядка . В некотором смысле пакет в этом случае подобен частице в классической механике, а групповая скорость всего пакета подобна скорости частицы.

Рассмотрим еще один способ введения понятия групповой скорости, для чего проанализируем распространение сигнала с дискретным спектром частот (рис. 8.1 а)

Представим такую суперпозицию монохроматических волн с частотами в виде

где

Рис. 8.1. Узкий дискретный спектр — все составляющие близки к пакеты волн, ограниченные огибающей модуляции (2), которая переносит в отличие от высокочастотного заполнения (1) всю информацию о сигнале (б) и пример непрерывного спектра сигнала

Функция называется комплексной огибающей высокочастотного сигнала в пространстве и во времени [2]. Смысл этого названия легко понять, если ввести Тогда из (8.5) имеем квазигармоническую волну (А — огибающая, — высокочастотная фаза, — медленно изменяющаяся фаза). Если спектр сигнала узкий (все спектральные составляющие сосредоточены около то все разности типа малы. Следовательно, в (8.5) функция изменяется медленно по сравнению с . Экспоненциальный множитель соответствует распространению монохроматической волны с частотой которая называется несущей. Перепишем формулу (8.6) в виде

Для узкого спектра можно положить (Равенства выполняются тем точнее, чем уже спектр), и, следовательно,

Сказанное выше позволяет определить групповую скорость как скорость распространения огибающей сигнала (рис. 8.16). Если в дисперсионном

уравнении связь между и к линейная и однородная, то и волновой пакет распространяется так же, как отдельная монохроматическая волна, — это отличительный признак среды без дисперсии.

Для сигнала с непрерывным спектром, занимающим узкий интервал около некоторой фиксированной частоты (рис. 8.1 в), соотношение (8.8) остается в силе [2]. Конечно, и при таком подходе понятие групповой скорости по-прежнему справедливо, пока пакет не исказился, т. е. для сравнительно малых промежутков времени и для сигналов с узким спектральным диапазоном.

Введем понятие групповой скорости теперь из более общих соображений для волны, которая квазигармонически плавно модулирована и по амплитуде, и по частоте, т. е. имеет вид где Ф — быстро осциллирующая фаза (помимо узкого пакета можно рассмотреть широкий -пакет, для которого изменения k имеют порядок самого k). Мгновенные частоты и волновое число определяются производными фазы по формулам

и, очевидно, удовлетворяют уравнению

Если разложить Ф в ряд около какой-либо точки то совпадут с локальными частотой и волновым числом в традиционном определении, когда характерный масштаб изменений велик по сравнению с Предположим, что на пространственных интервалах, много больших периода модуляции, но меньших характерного масштаба ее изменений, локальная частота близка к частоте синусоидальной волны с данным «локальным» значением к. Тогда связаны дисперсионным уравнением Используя его в (8.10), получаем

где Таким образом, можно дать еще одно важное для понимания кинематики волнового движения определение: групповая скорость есть скорость распространения возмущений волнового числа k. Уравнение (8.1) для к является гиперболическим нелинейным уравнением даже тогда, когда исходная задача линейная. Из этого

уравнения следует постоянство к вдоль кривых — характеристик на плоскости для которых откуда, в свою очередь, вытекает, что и т. е. характеристики — это прямые (рис. 8.2), определяемые уравнением

Ясно, что вместо (8.11) можно пользоваться уравнением

которое также нелинейно; о дисперсии, следовательно, можно говорить как о «частотной нелинейности». Левая часть (8.13) есть взятая вдоль линии на плоскости т. е. уравнение (8.13) означает, что вдоль указанной линии Но тогда и вдоль характеристик где для данного Зависимость определяется модуляцией частоты при таким образом, общее решение уравнения (8.13) имеет вид

где — произвольная функция, обратная

Рис. 8.2. Поведение группы волн на плоскости вдоль жирных прямых траектория гребней волн, возникающих из «ничего» и исчезающих на фронте, показаны тонкими линиями [31

Решение (8.14) будет подробно обсуждаться во второй части книги в связи с теорией простых волн, поведение которых определяется тем, что каждая точка профиля простой волны движется со скоростью — постоянной, но разной для разных Поэтому можно представить волну как совокупность независимых групп, движущихся каждая со своей скоростью. Очевидно, что в зависимости от модуляции частоты эти группы могут и расходиться, и сближаться, обгоняя друг друга и вновь расходясь. Если построить характеристики на плоскости то можно получить, например, фокус — точку, в которой сходятся две или три группы, потом эти группы опять разбегаются (рис. 8.3). При этом проявляется неоднозначность в решении (в потоке невзаимодействующих частиц). Здесь очевидна аналогия и с поведением лучей в обычной геометрической оптике. В [4], например, показано, что эта аналогия не случайна, и для диспергирующей среды естественно говорить о приближении пространственно-временной геометрической оптики.

Рис. 8.3. Схема сжатия и последующего расплывания частотно-модулированной волны (а) и соответствующая пространственно-временная диаграмма (б)

Рис. 8.4. К графическому определению для для Отрезок, отсекаемый на оси ординат касательной к кривой проведенной, например, в точке этой кривой, равен

Если заменить через и использовать то из определения приходим к формуле Рэлея

Из (8.15) видно, что групповая скорость может быть как положительной, так и отрицательной; как больше фазовой, так и меньше. Простой способ определения по кривой был предложен еще Эренфестом. Этот способ легко понять из рис. 8.4. Примерами реальных волн, у которых противоположны по направлению, служат обратные электромагнитные волны или обратные пространственные гармоники электромагнитной волны, которые распространяются

в замедляющих системах, используемых в усилителях и генераторах типа ЛОВ.

Мы не касались вопроса о скорости распространения короткого импульса в диспергирующей среде. Современное изложение состояния этого вопроса дано в [5]. Подчеркнем лишь, что для короткого импульса и импульса с широким частотным спектром понятие групповой скорости становится неопределенным: форма импульса сильно искажается по мере его распространения.

Наконец, введем понятие скорости распространения энергии в среде:

Как показано М. А. Леонтовичем, в том случае, когда в среде отсутствует поглощение и нет вращения плоскости поляризации, V совпадает с Разумеется, по-прежнему нужно, чтобы спектр пакета был достаточно узким.