Глава 16. Автоколебания в многочастотных системах

16.1. Вынужденная синхронизация

На рис. 16.1 показана схема двухконтурного генератора, исследовавшегося Ван-дер-Полем, Андроновым и Виттом (см., например, [5, 11]).

Рис. 16.1. Схема двухконтурного автогенератора

Уже тогда были обнаружены наиболее важные эффекты, характерные для взаимодействия «элементарных генераторов», например таких, как рассмотренный в предыдущей главе генератор Ван-дер-Поля [6], — эффекты конкуренции мод, синхронизации и затягивания колебаний [3, 4]. Любопытно, что из-за особенностей нелинейности в вандерполевском генераторе незамеченным в работах Андронова и Ван-дер-Поля остался лишь тривиальный, по существу, эффект одновременной генерации двух мод, возможный при их слабой связи (случай, типичный, например, для газового лазера с неоднородно уширенной линией спектра активного вещества.

Появление конкуренции, наблюдаемое при сильной связи нескольких автоколебательных мод, объясняется зависимостью нелинейного затухания одной из мод от энергии другой. Если моды равноправны и связь взаимна, то устанавливается режим генерации той моды, которая преобладала вначале. Зависимость от начальных условий приводит к тому, что для перехода системы из одного режима в другой необходимо заметно изменить частоту одной из мод, т. е. изменить расстройку,

причем значения расстройки при движении в разных направлениях не совпадают (гистерезис). Интервал расстроек, в котором частота генерации зависит от предыстории, называют интервалом затягивания.

В последние два десятилетия вновь возрос интерес к этим классическим и ставшим почти азбучными эффектам. В первую очередь этот интерес связан с появлением активных распределенных систем (молекулярные и оптические квантовые генераторы, (лазеры на циклотронном резонансе и т. д.), а также с созданием систем с большим числом активных элементов. В тех случаях, когда активные приборы в целях увеличения мощности или повышения КПД объединяются в упорядоченные пространственные структуры, получившиеся системы становятся аналогичными распределенным.

От способа объединения активных элементов (диоды Ганна, лавиннопролетные диоды и др.) зависит лишь характер дисперсии получившейся «среды».

Начнем рассмотрение многочастотных систем с анализа классического эффекта теории нелинейных колебаний — синхронизации («захватывания») частоты генератора внешним синусоидальным сигналом, частота которого близка (но не совпадает) к собственной частоте генератора. Будем считать, что если при взаимодействии объектов любой природы, рассматриваемых как равноправные, устанавливаются вполне определенные частотные соотношения («единый ритм совместного существования» [1]), то имеет место взаимная или внутренняя синхронизация объектов.

Если же один из объектов столь мощный, что навязывает свою частоту (заданную и неменяющуюся) другим автоколебательным системам, то возникает внешняя (вынужденная) синхронизация или захватывание частоты.

Здесь мы дадим количественную теорию явления синхронизации автоколебательных систем на примере лампового генератора, принципиальная схема которого проведена на рис. 16.2. Как довести исследование подобной конкретной нелинейной динамической системы до чисел? Один пример мы уже рассматривали — это автоколебания в системе, где удалось разделить быстрые и медленные движения. Формально такое разделение можно сделать, если в уравнениях при старшей производной имеется малый параметр. Его присутствие позволяет во многих случаях (не только, конечно, при анализе автоколебаний) понизить порядок исходной системы — проинтегрировать ее по участкам быстрых и медленных движений. Следует заметить, что большинство методов, позволяющих довести решение конкретной нелинейной задачи до конца без применения численного счета на ЭВМ, связано с наличием в системе малого параметра, т. е. фактически с близостью исследуемой системы к другой, более простой, а точнее, интегрируемой (хотя бы и приближенно). Другой случай, когда удается решить задачу аналитически, — он наиболее часто встречается в физике и различных приложениях — это, когда исходная нелинейная система близка к линейному осциллятору или нескольким осцилляторам. При этом решение близко к набору синусоид, однако их параметрами, очевидно, будут уже не числа, а медленно изменяющиеся функции времени.

Рис. 16.2. Схема лампового генератора, синхронизированного внешним сигналом частота которого близка к собственной частоте

Рассмотрим один из вариантов метода усреднения — метод Ван-дер-Поля — применительно к схеме рис. 16.2, которая описывается уравнением

где определяются выражениями (14.4),

Далее будем считать, что а и в (16.1) малы, т. е. генератор слабо возбужден, и амплитуда внешнего сигнала (или величина связи с внешним генератором) также мала. Введем новое время безразмерную координату и параметры Тогда уравнение (16.1) перейдет в уравнение

где характеризует относительную расстройку между собственной частотой генератора и частотой внешнего сигнала, индекс «н» опущен. Запишем уравнение (16.2) в виде системы

или

В своем методе Ван-дер-Поль шел от метода вариации произвольных постоянных. Решение системы уравнений (16.3) при известно:

Будем искать решение при отличном от нуля, в том же виде, но считать амплитуды А и В функциями времени: Пока это просто замена переменных: от и у хотим перейти к А и В. Дифференцированием по найдем

и подставим в (16.3). Разрешая относительно производных А и В, получаем

Эти уравнения называют уравнениями в переменных Ван-дер-Поля. Это точные уравнения, так как никаких приближений пока не делалось. Теперь воспользуемся тем, что мало. Если в среднем порядка единицы, то А и В в первом приближении будут медленно изменяющимися функциями времени — на периоде изменения функций, стоящих в правых частях системы уравнений для А и В,

почти не меняются. Далее периодические функции разложим в ряд Фурье и оставим лишь нулевую гармонику, поскольку она соответствует медленному изменению производных Быстроосциллирующие слагаемые можно отбросить, опираясь именно на эту медленность А и В (они дадут вклад в следующее приближение). Таким образом, получим приближенные, усредненные или, как их еще называют, «укороченные» уравнения

где

Теперь применим эти общие результаты к нашей конкретной системе (16.3). Для нее

Отсюда получаем

Окончательно укороченные уравнения примут вид

Рассмотрим теперь различные случаи.

Автономный генератор Если искать решение на собственной частоте то Параметры автоколебаний определяются стационарными решениями системы (16.5). Последняя имеет неустойчивое состояние равновесия в начале координат и непрерывное множество состояний равновесия, лежащих на окружности Фазовый портрет представлен на рис. 16.3 а. Как его

Рис. 16.3. Фазовые портреты автономного генератора а — на плоскости решение ищется на собственной частоте (начало координат — неустойчивое состояние равновесия; окружность множество состояний равновесия); на плоскости соответствующей а; на плоскости решение ищется на частоте Е

трактовать? Не значит ли это, что из грубой системы мы получили негрубую? С какими значениями амплитуд А и В будут происходить автоколебания? Чтобы ответить на эти вопросы, удобно перейти к фазовой плоскости исходных переменных х и у. Для этого надо перейти в систему координат вращающуюся по часовой стрелке с угловой скоростью Окружность радиуса перейдет в предельный цикл, а фазовые траектории, являющиеся прямыми на плоскости — в спирали, накручивающиеся на предельный цикл (рис. 16.3 6). Чтобы пояснить последнее, вспомним, что движение по фазовым траекториям на плоскости происходит со скоростью порядка , следовательно, за один оборот точка мало успеет продвинуться по радиусу. Таким образом, в генераторе будут существовать автоколебания с амплитудой и произвольной фазой

б) Если же искать решение на частоте 1), близкой к собственной частоте то При этом легко показать, что для системы (16.5), где существует единственный устойчивый предельный цикл, симметричный относительно начала координат (рис. 16.3 е). По-прежнему но теперь А и В меняются с частотой , чему соответствует изменение фазы с той же частотой, т. е. — получается сдвиг частоты точно на . Если бы предельный цикл был несимметричен относительно начала координат, то уже не было бы постоянным и периодическую модуляцию испытывала бы и амплитуда колебаний, т. е. в системе возникли бы биения. Именно так получается в неавтономном случае.

Рис. 16.4. К объяснению синхронизации внешним сигналом: а — зависимость амплитуды внешнего сигнала от амплитуды колебаний на частоте внешнего сигнала; б - резонансные кривые неавтономного генератора; при реализуется случай слабых внешних сигналов (кривые 1, 2); при сильных (кривая 3)

Неавтономный генератор. Попробуем найти режим синхронизации, т. е. режим, в котором генератор выдает колебания не на собственной частоте, а на частоте внешнего поля. Наличие такого режима, например, создает возможность для управления частотой мощного генератора слабым сигналом. Определим параметры режима синхронизации, его границы, и выясним, что будет вне полосы синхронизации. В режиме захватывания амплитуды А и В должны оставаться постоянными. Введем для удобства амплитуды и При этом система будет иметь вид

Состояния равновесия определяются из уравнений

откуда легко получить для так называемое уравнение резонансной кривой

Оно дает зависимость амплитуды колебаний на частоте внешнего сигнала от амплитуды последнего и расстройки. Разрешая (16.7) относительно расстройки, получаем

откуда следует, что действительные значения существуют только при (рис. 16.4). Резонансные кривые 1,2,3 соответствуют значениям амплитуды внешней силы

При резонансные кривые состоят из двух ветвей — это слабые внешние сигналы; соответствует сильным сигналам, и резонансная кривая имеет вид кривой 3 на рис. 16.4.

Остается выяснить, какие ветви резонансных кривых устойчивы, так как только они будут соответствовать реальному режиму синхронизации. Для этого надо линеаризовать систему (16.6) вблизи равновесных состояний, найти границы устойчивости и нанести их на плоскость Записывая (16.6) в виде

получим линеаризованные уравнения для

Характеристическое уравнение имеет вид

где

Области устойчивости определяются, следовательно, неравенствами

Определим заодно и типы состояний равновесия: при имеем область седел; приравнивая нулю дискриминант характеристического уравнения получим границу между узлами и фокусами. Разбиение плоскости на области с различными типами состояний равновесия приведено на рис. 16.5 а. Там же штриховкой выделена граница устойчивости. Совместим рис. 16.4 6 и 16.5 а, оставляя только те ветви резонансных кривых, которые попадают в устойчивую область (рис. 16.5 6). Граница области синхронизации для сильных сигналов определяется пересечением резонансной кривой с прямой Подставляя это значение в (16.7), получаем

Рис. 16.5. К определению устойчивости ветвей резонансных кривых и типов состояний равновесия: а — разбиение плоскости на области с различными состояниями равновесия (штриховкой выделена граница устойчивости); б - результат совмещения рис. 16.4 б и 16.5 а (оставлены ветви резонансных кривых, которые попадают в устойчивую область)

Для очень слабых сигналов можно считать, что граница области синхронизации определяется пересечением резонансных кривых с прямой (координаты точек эллипса мало отличаются от этого значения), и, следовательно, При выходе из режима синхронизации генератор ведет себя по-разному при сильных и слабых сигналах.

Слабый сигнал, как уже указывалось выше, соответствует амплитудам внешнего сигнала При резонансная кривая касается эллипса, ограничивающего область седел. Если то при любых в системе имеется единственное состояние равновесия, и такой 1 внешний сигнал будем считать сильным.

Рассмотрим каждый из этих случаев.

Сильный сигнал . Амплитудно-частотная характеристика для этого случая изображена на рис. 16.6. В системе существует единственное состояние равновесия, устойчивое в области расстроек Значение параметра является бифуркационным. На фазовой плоскости системы (16.6) при имеется сложный фокус. При рождается предельный цикл, а сам фокус

Рис. 16.6. Амплитудно-частотная характеристика неавтономного генератора при синхронизации сильным сигналом

становится неустойчивым. Для доказательства устойчивости предельного цикла остается выяснить, как ведут себя фазовые траектории при достаточно больших амплитудах а и Согласно (16.6) амплитуда колебаний при больших а и уменьшается, следовательно, «бесконечность» неустойчива, и все фазовые траектории сходятся в некоторую область, т. е. стремятся к предельному циклу.

Рис. 16.7. Особенности режима биений в неавтономном генераторе (бигармо-нический режим при сильном внешнем сигнале): а — зависимость глубины модуляции М выходного сигнала от расстройки, показывающая, что биения возбуждаются мягко по ампитуде; — «жесткое» возбуждение частоты биений Е и ее зависимость от расстройки

Движение по предельному циклу соответствует периодическому изменению амплитуд а и что означает наличие бигармонического режима в исходной системе (режим биений). Биения возникают мягко по амплитуде (рис. 16.7 а). так как предельный цикл рождается с нулевым радиусом. Частота биений при этом конечна, так как предельный цикл возникает из фокуса и в момент возникновения имеет частоту, отвечающую исчезнувшему состоянию равновесия. Для определения следует найти корни характеристического уравнения при Значение мнимой части корней и даст искомую частоту. Нетрудно показать, что с увеличением расстройки частота биений растет (рис. 16.76). Для больших значений можно считать, что амплитуды а и изменяются с некоторой частотой а кроме того, претерпевают еще очень медленные (малые на периоде изменения. Тогда, применив повторно метод усреднения, удается найти амплитуду цикла на плоскости переменных Ван-дер-Поля и частоту вращения по нему.

Слабый сигнал . Амплитудно-частотная характеристика для этого случая изображена на рис. 16.8. Синхронизация имеет место в интервале расстроек , т. е. там, где имеется устойчивая

Рис. 16.8. Амплитудно-частотная характеристика неавтономного генератора при синхронизации слабым сигналом Синхронизация имеет место в интервале (двойная штриховка)

Рис. 16.9. Фазовый портрет неавтономного генератора в переменных Ван-дер-Поля при слабом внешнем сигнале, иллстрирующий эволюцию сосотояния равновесия при изменении расстройки:

ветвь резонансной кривой. Наличие в этой же области неустойчивых ветвей не влияет на режим захватывания, но меняет характер выхода системы из этого режима. В случае фазовый портрет для переменных Ван-дер-Поля представлен на рис. 16.9 а. Существует три состояния равновесия — неустойчивый фокус, седло, устойчивый узел — с суммарным индексом Пуанкаре «Бесконечность», как уже отмечалось, траектории сходятся к узлу. При два состояния равновесия — седло и узел — сливаются, образуя сложную особую точку типа седло-узел (рис. 16.96) с которая при дальнейшем увеличении расстройки исчезает. Из сепаратрисы седла при этом рождается предельный цикл, к которому асимптотически сходятся все фазовые траектории. Так как радиус предельного цикла в момент рождения конечен, а частота обращения по небу изображающей точки в момент рождения равна нулю (время движения по петле сепаратрисы бесконечно), то характер изменения глубины модуляции и частоты биений при увеличении расстройки (рис. 16.10) будет иным, чем в случае сильного сигнала.

Следует заметить, что явление синхронизации не имеет нижнего предела по амплитуде, сколь угодно малый сигнал может синхронизовать генератор, при этом полоса синхронизации становится все уже.

Рис. 16.10. Иллюстрация различий режимов биений при слабом и сильном внешних сигналах (рис. 16.7): а — биения возбуждаются жестко по амплитуде (размеры предельного цикла сразу конечны); б - мягкое возбуждение частоты биений (частота обращения по предельному циклу изображающей точки в момент его рождения равна нулю)

Подчеркнем, что если нелинейность генератора не мала, то воздействие периодической силы может привести не только к синхронизации генератора или к работе системы в режиме биении (вне полосы захватывания или синхронизации), но и к установлению очень сложных режимов колебаний и даже колебаний со сплошным спектром. Такие колебания наблюдались недавно авторами работы [13] в неавтономном генераторе, который описывается уравнением вида . В частности, при наблюдались колебания со сплошным спектром в интервале из Возникновение стохастических колебаний в подобных сравнительно простых динамических системах мы будем подробно обсуждать в гл. 22.

Явление синхронизации широко распространено в механике (например, синхронизация вращения роторов механических вибровозбудителей — эффект, аналогичный обнаруженному Гюйгенсом для часов), в электрорадиотехнике, электронике и радиофизике (синхронизация различных автогенераторов на вакуумных или твердотельных активных элементах, синхронизация квантовых генераторов и т. п.), в химии, биологии и медицине [1]. Существуют даже идеи, приписывающие явлению синхронизации характер глобального в масштабах Солнечной системы. К ним относится гипотеза А. М. Молчанова [14] о синхронизованности орбитальных движений больших планет Солнечной системы. В небесной механике синхронизацией, или резонансом, называют существование связи между средними угловыми скоростями вращательных движений объектов, которая математически выражается «резонансными» соотношениями где — положительные и отрицательные целые числа; число — число рассматриваемых вращательных

движений. Откуда берется такая синхронизация? В упомянутой гипотезе предполагается, что в процессе эволюции действующие в Солнечной системе в течение миллиарда лет диссипативные силы (приливные силы, тормозящие силы межпланетной пыли и другие), несмотря на их малость, могут вывести планеты на почти стационарные (практически неизменные в грядущие миллионы лет) резонансные орбиты. Молчанов составил таблицы резонансных соотношений в Солнечной системе для девяти больших планет (табл. 16.1), а также для спутников больших планет [15]. Соответствие теоретических значений частот, удовлетворяющих соотношению и наблюдаемых действительно впечатляет.

Таблица 16.1. Резонансные соотношения в Солнечной системе и в системах спутников планет [15] (см. скан)

Однако это все-таки еще только гипотеза, и в связи с ней возникает множество вопросов. Как мы знаем, для того чтобы в системе осцилляторов наблюдалась синхронизация, необходимы три фактора: нелинейность, связь и диссипация. Нелинейность в небесных осцилляторах известна уже несколько веков: согласно третьему закону Кеплера частота колебания (вращения) небесного тела (в знаменитой задаче двух тел) зависит от энергии осциллятора: Связь определяется гравитационным взаимодействием

вращающихся тел, а диссипация, как отмечает Молчанов, вызвана приливными силами. Однако диссипация очень мала, возмущения (взаимодействия) слабы следовательно, полоса синхронизации должна быть очень узкой. Таким образом, еще не синхронизованные вращающиеся тела (система не является эволюционно зрелой) все равно должны иметь частоты, близкие к резонансным. Почему они такие? На этот вопрос гипотеза Молчанова не отвечает. Возможно, такое соотношение частот определялось геометрией Солнечной системы при ее рождении [12].