Глава 7. Устойчивость распределенных систем со сплошным спектром

7.1. Общие замечания

Итак, когда речь идет об исследовании устойчивости ограниченных распределенных систем (резонаторов), задача по сравнению с соответствующей сосредоточенной усложняется лишь тем, что спектр комплексных собственных частот оказывается счетным. При этом, перебирая все возможные пространственные возмущения, т. е. все допустимые граничными условиями значения волновых чисел мы, определив корни характеристического уравнения полностью решаем задачу об устойчивости. Здесь, конечно, могут встретиться трудности, но трудности технические.

Если же система полуограничена или безгранична, то сама постановка задачи об устойчивости, вообще говоря, не очевидна и требует дополнительных размышлений. Действительно, теперь, рассматривая устойчивость возмущений в интересующей нас области пространства, мы должны решить задачу об эволюции пространственно-локализованного возмущения — задачу с начальными условиями

где — пространственный спектр начального возмущения, а суммирование проводится по всем нормальным волнам. Как поведет себя возмущение в заданной точке или локализованной области? Ведь экспоненциальный рост во времени отдельных -компонент пространственного спектра отнюдь не гарантирует временного роста возмущения в этой точке или области. Действительно, возмущение может, нарастая во времени, просто покидать рассматриваемую область, убегая из нее. Именно такая «сносовая», или конвективная, неустойчивость наблюдается, например, в некоторых сдвиговых гидродинамических

течениях (в частности, затопленных струях, см. рис. 7.1), а также в различных электронных системах — лампе бегущей волны (ЛБВ), плазме, пронизываемой электронным пучком, и т. д.

Если же среди нарастающих возмущений находятся такие, которые не покидают заданной области, т. е. в каждой точке этой области возмущение растет, то это уже истинная (в нашем старом понимании) неустойчивость. Такую неустойчивость называют абсолютной. Формальные определения, следовательно, должны быть такими: если

где — возмущение — границы интересующей нас области, в которой имеется неустойчивость), то неустойчивость — абсолютная; если же

то неустойчивость конвективная.

Рис. 7.1. Профиль скорости в затопленной струе

Естественно, что вид неустойчивости зависит от выбора системы координат. Если мы движемся вместе с убегающим, растущим во времени возмущением, то в новой системе координат неустойчивость будет уже не конвективной, а абсолютной. И наоборот, если в системе с абсолютной неустойчивостью перейти к новым переменным где превышает максимальную скорость распространения возмущений (такой переход, конечно, возможен не всегда; например, не имеет смысла переходить в систему координат, движущуюся со скоростью, большей скорости света), то неустойчивость из абсолютной превратится в конвективную.

С проблемой разделения абсолютной и конвективной неустойчивости тесно связана другая, может быть, даже более важная для приложений проблема о распознавании усиления и непропускания в полуограниченных системах, возбуждаемых сосредоточенным источником. Поясним эту проблему подробнее.

Пусть на границу среды, описываемой дисперсионным уравнением подается сигнал. Для простоты будем считать его

Рис. 7.2. Колебания (в плоскости, перпендикулярной и рисунку) в цепочке связанных маятников (а); дисперсионная характеристика этой колебательной системы (б) и затухание колебаний вдоль направления их распространения

радиоимпульсом с частотой заполнения Предположим далее, что корни уравнения не действительные, и пусть есть корни и с Что будет происходить с сигналом по мере распространения его в среде вдоль оси Казалось бы, поскольку решение имеет вид при сигнал должен нарастать вдоль х. Утверждение, вообще говоря, неверно. Например, когда мы пытаемся возбудить колебания на частоте цепочке связанных маятников (рис. 7.2 а; дисперсионная характеристика этой системы приведена на рис. 7.26), мы получим не усиление колебаний вдоль оси х, а экспоненциальное затухание (рис. 7.2 в). Колебание не возникает; в среде на закритической частоте имеет место непропускание, хотя и в этом случае при имеется корень уравнения . В чем же дело? Ответ заключается в следующем: существование корня уравнения лежащего в верхней полуплоскости комплексной плоскости к, само по себе еще не означает усиления. Волна, соответствующая этому корню, может распространяться влево и тогда она будет затухать в направлении своего распространения (рис. 7.2 в). В отличие от аналогичной задачи о неустойчивости синусоидального решения во времени (в которой всегда здесь оба направления изменения переменной имеют смысл.

В этой главе мы обсудим различные примеры неустойчивых и усиливающих сред и сравнительно простые критерии, позволяющие отделить усиление от непропускания и определить, какая неустойчивость реализуется в системе — абсолютная или конвективная.