7.4. Волны в потоках. Электронные потоки. Неустойчивость Гельмгольца

Пусть есть две взаимопроникающие заряженные жидкости (в частности, это могут быть два электронных или ионных потока), взаимодействие которых определяется общим продольным электрическим полем пространственного заряда Подобно тому, как мы поступили при анализе ЛБВ, будет считать среды консервативными, пренебрегая силами трения (вязкостью). Потоки, бесконечно широкие, движутся либо в одном по х направлении (попутные пучки), либо навстречу друг другу (встречные пучки) с разными по модулю постоянными скоростями

Описанная теоретическая модель соответствует довольно хорошо исследованной в СВЧ-электронике двухлучевой лампе [7, 8, 14]. В экспериментальных макетах использовались два катода, разность потенциалов между которыми обеспечивала различие в скоростях электронных потоков. Конструкция катодов выбиралась такой, чтобы обеспечить хорошее взаимопроникновение потоков (например, в одной из конструкций катод был выполнен в виде двух плоских спиралей, размещенных одна перед другой, так что электроны, эмиттируемые первым катодом, проходят между витками другого катода, чем и обеспечивается хорошее смешивание потоков).

Для введения усиливаемого сигнала в один или оба пучка обычно используется отрезок спирали, высокочастотное электрическое поле которого модулирует электроны. Скорость одного из потоков подбирается близкой к фазовой скорости волны в спирали для того, чтобы модуляция потока входным сигналом была эффективной. В результате экспоненциального нарастания с координатой переменного тока лучей в выходной спирали возбуждается сигнал гораздо большей амплитуды, чем поданный на вход лампы (рис. 7.7). Поначалу двухлучевая

Рис. 7.7. Схема двухлучевого усилителя: 1 — электронные пушки; 2,3 — входное и выходное устройства; 4 — коллекторы; 5 — согласованные нагрузки; Но — фокусирующее магнитное поле. Пучки показаны разнесенными друг от друга

лампа казалась весьма перспективной, особенно в диапазоне миллиметровых длин волн, поскольку сочетала длительное взаимодействие с отсутствием замедляющих систем. Однако, как оказалось, переход к высоким частотам требует уменьшения разности скоростей потоков и увеличения плотности тока в них. Сближение скоростей потоков ограничено разбросом электронов по скоростям, который характеризуется функцией распределения электронов по скоростям. Понятно, что при значении сравнимом с разбросом по скоростям, два луча практически неразличимы. Двухлучевой усилитель как прибор не используется в СВЧ-электронике. Тем не менее он стал стандартным примером в теории волновых неустойчивостей [15-18].

Рассмотрим далее для определенности два ионно-скомпенсированных электронных потока, описываемых линеаризованными гидродинамическими уравнениями

В предположении, что все переменные величины изменяются во времени по закону преобразуем систему (7.36) к следующему

Система уравнений (7.37) соответствует самосогласованной модели возбуждения электронного волновода электронными потоками. Первое уравнение системы описывает возбуждение электронного волновода заданными потоками, два других описывают группирование электронных потоков под действием суммарного поля пространственного заряда двух электронных потоков.

Такой подход позволяет объяснить физический механизм двухлучевого усилителя с попутными потоками, основываясь на аналогии с уже известной нам ЛБВ.

Входное устройство модулирует медленный электронный поток по скорости и по плотности, что приводит к образованию в пространстве дрейфа электронной периодической структуры чередующихся уплотнений и разряжений электронов. Такая ситуация, как показано в гл. 5, соответствует распространению в пучке двух волн пространственного заряда — быстрой и медленной, фазовые скорости которых . Таким образом, роль модулированного потока в двухлучевой системе аналогична роли замедляющей системы в ЛБВ. Второй быстрый поток взаимодействует с продольной составляющей замедленной волны в первом потоке. Тогда, как в ЛБВ, при соответствующем выборе скорости второго потока последний будет отдавать энергию высокочастотному полю; в результате возможно усиление входного сигнала. Исключая в (7.37) , окончательно получим

Система уравнений (7.38) допускает решение когда потоки движутся, не взаимодействуя друг с другом. Будет ли такое движение устойчивым? Будем искать решение (7.38) в виде

Подставляя его в (7.38), получим систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов распределения (вектор ) называют также поляризационным вектором). Равенство нулю определителя этой системы дает дисперсионное уравнение задачи

Заметим, что коэффициенты уравнений — действительные величины, в то время как корни его (и или к) могут быть комплексными. Рассмотрим теперь детально различные частные случаи. Пусть пучки совершенно одинаковые, но встречные, т. е.

С учетом (7.40) дисперсионное уравнение (7.39) принимает вид

или

Из (7.41) видно, что могут быть комплексными, если , т. е. при условии, когда

Из (7.42) следует, что т. е. неустойчивы лишь длинноволновые возмущения. Подчеркнем, что к здесь действительные. Дисперсионные характеристики, определяемые формулой (7.41), приведены на рис. 7.8.

Рис. 7.8. Модель двух идентичных встречных пучков и дисперсионные характеристики, определяемые уравнением (7.41). При имеем если же , то в случае больших к и малых заштрихована полоса действительных значений к, при которых имеют место комплексные значения из

Для понимания рис. 7.8 проследим за цепочкой переходов: один пучок — два невзаимодействующих пучка — два взаимодействующих

пучка (рис. 7.9). Как следует из (7.39) (это известно нам и из гл. 5), в одном возмущенном электронном потоке существуют две волны пространственного заряда — медленная и быстрая. Если то из (7.39) имеем а в случае имеем Из анализа рис. 7.9 в и его сравнения с рис. 7.9 а, б следует, что ветви 1 дисперсной характеристики взаимодействующих пучков соответствуют медленным волнам, а ветви 2 — быстрым волнам. Из рис. 7.8 видно, что для быстрых волн неустойчивости быть не может: любым действительным значениям волнового числа к для них соответствуют действительные значения частоты

Для медленных волн в области значений волновых чисел (на рис. 7.8 эта область выделена штриховкой) частота будет комплексной величиной и при возмущения будут нарастать во времени.

Рис. 7.9. Модели двух пучков и дисперсионные характеристики одного модулированного во входном устройстве пучка (другой отделен от него экраном модель двух взаимодействующих пучков и их дисперсионные характеристики Штриховыми линиями показаны дисперсионные характеристики невзаимодействующих потоков

Таким образом, в анализируемой консервативной системе существует неустойчивость. Это сам по себе замечательный факт. Энергия, необходимая для поддержания этой неустойчивости, черпается из «неволнового» движения равномерно движущихся потоков. И если в

случае попутных пучков мы проводили аналогию с ЛБВ, то здесь уместна аналогия с ЛОВ. Действительно, в системе имеется обратная связь, поскольку один из пучков направлен навстречу другому. Если в схеме рис. 7.9 б удалить экран, то верхний пучок можно рассматривать как «электронную замедляющую систему» с обратной волной (энергия переносится со скоростью Возникшая в такой линии передачи медленная волна будет взаимодействовать с электронным потоком, движущимся со скоростью При определенных значениях тока пучков система будет самовозбуждаться и входное устройство не нужно. Причиной возникновения колебаний являются флуктуации птотности объемного заряда в пучке. Исследуем теперь одинаковые попутные пучки, т.е. случай, когда При этих условиях из (7.40) получаем

Дисперсионная характеристика этой системы изображена на рис. 7.10 в. Качественный вид ее ветвей легко получить, переходя от случая невзаимодействующих пучков, один из которых неподвижен к случаю их взаимодействия, а затем и к случаю взаимодействия попутных пучков, когда Дисперсионное уравнение (7.43) по-прежнему имеет четыре корня, и каждое возмущение будет содержать четыре слагаемых, например Два из них (ветви 1 дисперсионной характеристики на рис. 7.10 в) не нарастают во времени, а два других (ветви 2) могут нарастать, поскольку действительным к в заштрихованной области соответствуют комплексные значения из. Но неустойчивость здесь другого типа, чем в задаче о встречных пучках. Поскольку пучки движутся в одну сторону, возмущение будет сноситься вместе с пучком, т. е. в данной точке пространства возмущение может затухать.

Разрешим уравнение (7.43) относительно полагая из действительной величиной. Вводя величины [7] полуразности скоростей средней скорости и волнового числа можно переписать (7.43) в виде

Если мало по сравнению с , то можно считать, что

Рис. 7.10. Дисперсионные характеристики двух невзаимодействующих (а) и взаимодействующих (б) электронных пучков, один из которых неподвижен и двух взаимодействующих попутных пучков заштрихована область действительных значений к, при которых имеют место комплексные значения

Тогда из (7.44) находим

Из анализа (7.44) следует, что максимальное значение инкремента нарастания волны составляет и достигается при при значения становятся чисто мнимыми и все четыре волны имеют постоянные амплитуды. Итак, гармоническое возмущение возрастает вдоль х.

Проанализируем теперь неустойчивость Гельмгольца При рассмотрении взаимодействия течений жидкости обычно приходится решать двумерную задачу: скорость потоков должна зависеть не только от продольной координаты х, но и от поперечной координаты у (рис. 7.11 а). Однако в частном случае, когда границу, через которую взаимодействуют потоки, можно считать неразмытой, задачу удается свести к одномерной.

Предположим, что два слоя жидкости скользят друг относительно друга с постоянными скоростями и , участок поверхности разрыва скорости плоский, плотности жидкостей постоянны и равны поскольку жидкости не смешиваются (рис. 7.11 а). Пусть на границе раздела возникло слабое возмущение у самой границы,

Рис. 7.11. Неустойчивость Гельмгольца [19]: а — возмущения границы раздела нет — два слоя жидкости скользят по границе раздела навстречу друг другу; б - граница раздела возмущена — схематическое изображение формы линий тока и распределение давления вблизи возмущенной поверхности тангенциального разрыва скорости; в - исходная модель для анализа системы поверхностный ветер (I) — неподвижная вода (II)

скорости и давления жидкости. Причем и пропорциональны Для несжимаемой жидкости с одной стороны от поверхности разрыва из уравнений Эйлера и непрерывности (см. гл. 5) в линейном приближении имеем

(в первом уравнении учтено, что постоянная скорость направлена вдоль оси

Применяя к обеим частям (7.46) операцию и используя условие несжимаемости жидкости, получаем

Решение (7.47) естественно искать в виде

Тогда для жидкости, занимающей пространство над разрывом из (7.47) и (7.48) находим

Обозначим смещение границы через Тогда для поперечной составляющей скорости на самой границе справедливо соотношение

Из уравнения Эйлера для -компоненты скорости с учетом (7.50) находим связь между давлением и смещением границы

Очевидно, что давление в области по другую сторону границы разрыва, для которой выразится соотношением, аналогичным (7.51), но с противоположным знаком:

В (7.52) учтено, что Давления на границе раздела должны быть равны; поэтому дисперсионное уравнение задачи имеет следующий вид:

Из (7.54) следует, что частота оказывается комплексной величиной, причем всегда выполняется условие при действительных к. Это и есть неустойчивость Гельмгольца, т. е. абсолютная неустойчивость. Механизм неустойчивости объяснить довольно просто, исходя из закона Бернулли Если на границе раздела возникло возмущение, скажем жидкость снизу границы приподнялась, то линии тока исказятся. В местах сгущения линий тока возникают поперечные градиенты давления, приводящие к усилению возмущений (см. рис. 7.11 б и формулы (7.51), (7.52)). Интересно, что Рэлей приводил этот механизм как объяснение полоскания парусов и флагов под действием ветра; однако в действительности в этом явлении проявляется механизм, связанный с возникновением и отрывом вихрей.