6.5. Механизмы неустойчивостей

Наверное, каждый был свидетелем нарастающих шумов в радиофицированном зале, возникающих, когда микрофон расположен слишком близко к динамику либо когда слишком велико усиление. Нарастающий звук свидетельствует о самовозбуждении системы микрофон —

усилитель — динамик, т. е. о ее неустойчивости. Виною этому — положительная обратная связь. Именно такой механизм лежит в основе работы большинства генераторов. Рассмотрим его подробнее на примере схемы рис. 6.5 в. Обратная связь в этой схеме пропорциональна току, и усиленное напряжение где коэффициент усиления по напряжению. Таким образом, схема описывается уравнением

После элементарных преобразований получим уравнение для заряда на конденсаторе:

где — добротность контура, — собственная частота контура.

Влияние обратной связи полностью определяется модифицированной добротностью Если то имеет место положительная обратная связь: величина становится больше что эквивалентно уменьшению потерь в контуре. При потери полностью компенсируются положительной обратной связью, а при в системе возникает неустойчивость — колебания экспоненциально возрастают со временем. При отрицательной обратной связи имеет место увеличение потерь в контуре и колебания экспоненциально затухают.

Хотя уравнение (6.21) получено для конкретной схемы, оно описывает любой гармонический осциллятор с затуханием и обратной связью, пропорциональной скорости. При не слишком глубокой обратной связи с рассматриваемой неустойчивости на фазовой плоскости уравнения (6.21) соответствует неустойчивый фокус (см. рис. 1.7, где приведено разбиение плоскости параметров на области с разными типами состояний равновесия). Такого же типа неустойчивость возникает в осцилляторах, зависимость трения (сопротивления, проводимости) от скорости (тока, напряжения) которых имеет падающий участок (рис. 6.6).

Поясним образование участка на характеристике (рис. 6.6 в) или («падающий» участок на рис. 6.76) для диода Ганна [6]. На рис. 6.7 представлена структура энергетических зон арсенида галлия GaAs — полупроводника -типа, который является сейчас наиболее распространенным материалом для диодов Ганна. В GaAs в

Рис. 6.6. Колебательный контур с элементом имеющим отрицательное сопротивление (а); вольт-амперная характеристика элемента в случае туннельного диода (б) и зависимость средней дрейфовой скорости электронов от напряженности электрического поля в случае диода Ганна

Рис. 6.7. Качественная картина структуры энергетических зон и пояснение механизма образования отрицательного дифференциального сопротивления в GaAs в рамках модели междолинного перехода электронов

зоне проводимости имеются одна основная нижняя долина и несколько верхних одинаковых долин, лежащих вдоль направления (100). Электроны в основной долине имеют подвижность, много большую подвижности электронов в верхней долине.

При малой напряженности электрического поля в полупроводвике почти все электроны находятся в нижней долине, поэтому концентрация электронов в верхней долине а полная концентрация

равна концентрации электронов в нижней долине. Плотность тока через полупроводник (рис. 6.7 б). Когда напряженность поля увеличивается настолько, что часть электронов приобретает энергию, большую они переходят в области с меньшей подвижностью — в верхние долины. Такой переход начинается со значения напряженности поля называемой пороговой. При все электроны перейдут в верхние долины и плотность тока станет Если то т. е. при изменении Е от до плотность тока уменьшается с ростом поля и описывается соотношением Таким образом, в интервале изменения напряженности на кривой есть участок, где т. е. участок с отрицательной дифференциальной проводимостью (отрицательным дифференциальным сопротивлением). Поскольку из условия следует, что

При выводе (6.22) мы использовали равенство и пренебрегли слагаемыми, пропорциональными так как

Неравенство (6.22) означает, что в области изменения Е, где имеет место отрицательное дифференциальное сопротивление, переход электронов из нижней долины в верхние (изменение концентрации электронов) должен протекать достаточно эффективно при малых изменениях Е.

Приведенная выше качественная картина образования отрицательного сопротивления справедлива, если переход электронов из нижней зоны в верхнюю происходит по всему объему полупроводника равномерно и одновременно. На самом деле эта картина усложняется тем, что появление участка вольт-амперной характеристики с отрицательным сопротивлением приводит к неустойчивости протекания тока через полупроводник и к образованию движущихся областей сильного поля — доменов. При этом существешны нелинейные эффекты, которые рассматриваются во второй части книги.

Неконсервативная неустойчивость систем с одной степенью свободы, образцами которой являются неустойчивый фокус или неустойчивый узел, не обязательно связана с трением или вязкостью. Например, в известной экологической модели Вольтерра (см. гл. 1), описывающей изменение численности видов в системе «хищник — жертва»,

где — число хищников и жертв соответственно, параметры, характеризующие скорость размножения объектов; параметры определяют скорость выхода хищников и жертв из сферы взаимодействия (это может быть, например, смертность в случае млекопитающих или рыб либо скорость потока в культиваторе в случае, когда речь идет о микроорганизмах — бактериях и вирусах). Воспользуемся эмпирическим законом Моно [7], в соответствии с которым скорость размножения хищников пропорциональна численности жертв, если эта численность мала, и слабо зависит от нее, если численность жертв велика. Тогда вместо уравнений (6.23), считаем мы будем иметь

где — константа. Эти кинетические уравнения имеют два состояния равновесия: Очевидно, что второе состояние равновесия имеет смысл лишь при Определим тип этих состояний равновесия. Линеаризованная система для возмущений имеет вид

Подставляя сюда координаты второго состояния равновесия (первое состояние равновесия для этой модели интереса не представляет, поскольку при несправедлив закон Моно), находим

Поскольку то интересующее нас состояние равновесия — всегда неустойчивый фокус (см. плоскость параметров на рис. 1.7). По существу, здесь неустойчивость также связана с действием положительной обратной связи — при увеличении численности жертв увеличивается скорость роста численности хищников, что и отражено в законе Моно.

Рассмотренные нами до сих пор механизмы неустойчивости так или иначе сводятся к одному механизму, определяемому отрицательным трением (сопротивлением, проводимостью, вязкостью и т. д.).

Действительно, и организация положительной обратной связи, и включение в ХС-контур элемента с падающей вольт-амперной характеристикой приводят к появлению в уравнении осциллятора одного и того же слагаемого где (отрицательные потери). При этом достаточно большие положительные потери, очевидно, подавляют такую неустойчивость. Это самые простые и привычные, особенно для радиотехников, механизмы неустойчивости. Однако они не исчерпывают всего многообразия колебательных неустойчивостей: есть и такие колебательные неустойчивости, для которых внесение в систему положительных потерь (трения, сопротивления и т. д.) не только не подавляет неустойчивость, но может даже и усиливать ее.

Мы уже встречались с примером неустойчивости, которая никак не связана с отрицательной диссипацией, — это неограниченный, се-кулярный рост колебаний в осцилляторе без трения, на который действует резонансное гармоническое возмущение. При отсутствии такого возмущения осциллятор совершает колебания конечной амплитуды, введение же даже очень малого возмущения приводит к тому, что колебания нарастают до сколь угодно большой величины (до бесконечности при ). Механизм этой неустойчивости очень прост — периодическое воздействие совпадает по фазе с колебаниями осциллятора, в результате чего и происходит раскачка. Нарастание колебаний в гамильтоновой системе (т. е. системе без диссипации) за счет резонансного отбора энергии у источника возможно и в том случае, когда этот источник неколебательный. Достаточным для этого условием является наличие у системы, например, нескольких степеней свободы (мод, взаимодействующих между собой). Подобная неустойчивость является, в частности, причиной нарастающих изгибно-продольных колебаний крыла самолета — так называемого флаттера.

Рис. 6.8. Схема крыла, на котором указаны несовпадающие центр масс и центр кручения

Полагая, что крыло — это колебательная система с двумя степенями свободы, одна из которых соответствует изгибным а другая

крутильным колебаниям, запишем его уравнения пока в отсутствие аэродинамических сил [8]:

здесь — обобщенные моменты инерции при изгибе и кручении соответственно, характеризуют упругость крыла, — момент инерции, определяющий инерционную связь между колебаниями. Связь эта зависит от расстояния между центрами масс крыла и кручения (рис. 6.8). Когда эти центры совпадают, обращается в нуль и (6.27) превращается в систему двух независимых осцилляторов с частотами При наличии связи нормальные частоты изгибно-продольных колебаний крыла определяются из характеристического уравнения

Они, как мы знаем, будут лежать вне парциальных частот, так как связь раздвигает частоты. Для крыла в полете уравнения (6.27) дополняются интегральньми аэродинамическими силами (подъемной силой и силами, закручивающими крыло):

здесь — безразмерный параметр, характеризующий скорость полета, а — положительные постоянные, зависящие от геометрии крыла [8]. Всеми диссипативными эффектами мы пренебрегли (эта система гамильтонова), тем не менее состояние равновесия здесь может быть неустойчивым, если скорость самолета достаточно велика. Граница неустойчивости определяется из условия равенства нулю дискриминанта:

Читателю предоставляется самостоятельно определить критическую скорость, при которой возникает флаттер. Конкретные численные значения параметров можно найти, например, в книге [8]. Причина неустойчивости, приводящей к флаттеру, заключается в специфической

связи изгибных и крутильных колебаний в потоке воздуха. Фазовые соотношения, возникающие между этими модами, таковы, что колеблющееся крыло черпает энергию из набегающего потока воздуха. Введение диссипации может даже сделать эти фазовые соотношения более оптимальными с точки зрения отбора энергии у потока и тем самым лишь усилить неустойчивость.