4.5. Формальный способ получения дисперсионного уравнения. Волны в одномерном резонаторе. Резонанс волновых систем

Пусть уравнение, описывающее распространение волн в среде, можно записать следующим образом:

где А, В и С — матрицы, и — вектор. Будем искать решение (4.41) в виде

где — комплексный вектор (поляризационный вектор), компоненты которого Ф; есть коэффициенты распределения, характеризующие соотношение амплитуд различных физических переменных в гармонической волне.

Подставляя (4.42) в (4.41), приходим к алгебраической системе уравнений для Ф. Условие существования нетривиального решения этой системы и будет искомым дисперсионным уравнением

Пусть уравнение (4.43) имеет решения где . Это означает, что в среде существует типов волн, т. е.

к. с. означает комплексно-сопряженную величину. Как и в случае сосредоточенных систем (см. гл. 2), можно перейти к нормальным волнам:

Ввиду отсутствия связи между нормальными волнами они удовлетворяют уравнениям

Такая запись удобна и тогда, когда между волнами появляется слабая связь: в уравнение (4.44) в этом случае необходимо добавить слагаемое с соответствующим коэффициентом связи (связанным волнам мы посвятим далее отдельную главу).

Для распределенных систем дисперсионное уравнение — это уравнение, связывающее две комплексные величины шик. Для сосредоточенных же систем имеется характеристическое уравнение, которое дает более полную информацию о системе — спектр ее комплексных собственных частот.

Есть ли аналог подобного уравнения для распределенной системы? До сих пор мы рассматривали безграничные среды. Обратимся теперь к системам, в которых предполагается наличие обратной связи (будем называть их резонаторами). В простейшем случае такая обратная связь осуществляется в кольцевом резонаторе. В кольцевом резонаторе может реализоваться как режим чисто бегущей волны, так и режим суперпозиции встречных волн, частным случаем которого является стоячая волна. Для установления в кольце стоячей волны необходимо подобрать начальные условия. В более общем случае обратная связь, превращающая волновод в резонатор, обязана своим происхождением различного рода неоднородностям — стенкам, зеркалам, на которых бегущая волна достаточно сильно или полностью отражается, передавая энергию встречной волне. Примером могут служить оптический резонатор Фабри-Перо и линия передачи, закороченная или разомкнутая на концах. Решение при этом представляется в виде суперпозиции встречных

волн:

амплитуды которых в простейшем случае идеального отражения на концах резонатора должны равняться друг другу по модулю. Например, в случае струны, закрепленной на концах, — длина струны). Из (4.45) получаем условие для амплитуд встречных волн и ограничение на спектр волновых чисел откуда

Нетрудно проверить, что в любом одномерном резонаторе с предельным отражением на концах могут реализоваться лишь элементарные решения, удовлетворяющие (4.46), т. е. в резонаторе укладывается целое число полуволн. В кольцевом резонаторе граничными условиями служат условия периодичности для всех переменных. Например, для замкнутой в кольцо линии передачи это откуда следует условие т. е. спектр

Физически это условие совершенно очевидно — в кольцевом резонаторе могут существовать лишь периодические в пространстве волны, которые укладываются в нем целое число раз.

Зная дисперсионное уравнение среды, заполняющей резонатор: и спектр волновых чисел (4.46) или (4.47), мы можем получить уравнение относительно одной переменной: определяющее спектр нормальных частот резонатора. Именно это уравнение и есть аналог характеристического уравнения для сосредоточенных систем. Например, в случае среды без дисперсии при идеальных отражениях на концах (рис. 4.21). Каким при эквидистантном спектре к будет спектр если среда обладает дисперсией? Качественное поведение спектра, зная дисперсионные характеристики, можно получить с помощью элементарного графического построения, которое ясно из рис. 4.22 и 4.23.

В среде с дисперсией в области низких частот спектр собственных частот начинается с частоты (рис. 4.22), сгущается вблизи этой критической частоты; далеко от спектр почти эквидистантный. При

Рис. 4.21. Эквидистантный спектр собственных частот, соответствующий эквидистантному спектру волновых чисел, в среде без дисперсии

Рис. 4.22. Неэквидистантный спектр собственных частот, соответствующий эквидистантному спектру волновых чисел, в среде с дисперсией в области низких частот

стремлении спектр становится непрерывным. В среде с дисперсией в области высоких частот картина такая же, но спектр становится редким при приближении к нулевой частоте (рис. 4.23 а). Если имеются две критические частоты, то имеются и две области сгущения спектра.

Рис. 4.23. Неэквидистантный спектр собственных частот, соответствующий эквидистантному спектру волновых чисел, в среде с дисперсией в области высоких частот (а) и плотность числа осцилляторов для низкочастотной ветви (б)

Заметим, что когда речь идет о нахождении собственных частот длинных линий, представленных эквивалентными схемами, с произвольными граничными условиями на концах, то спектр волнового числа находится из известного характеристического уравнения , где Y — характеристическая проводимость длинной линии, — нагрузки при соответственно [8, 3]. Кроме рассмотренных случаев отметим еще один: линия

короткозамкнута на одном и разомкнута на другом конце, т. е. тогда

Таким образом, если среда, заполняющая резонатор, обладает дисперсией, то даже при эквидистантном спектре к плотность нормальных мод в различных участках спектра будет различной. Это дает один из способов измерения дисперсионных свойств одномерных сред, особенно ценный, например, при исследовании цепочек линейных полимеров. Допустим, мы смогли равномерно возбудить все степени свободы цепочки, тогда снятый экспериментально спектр ее колебаний будет просто суперпозицией плотностей спектральных распределений, соответствующих различным дисперсионным ветвям. Для каждой ветви плотность спектрального распределения (плотность числа осцилляторов) вводится формулой

Здесь учтено, что число мод в интервале не зависит от к. Для продольных колебаний цепочки из тождественных молекул с точностью до нормирующего множителя из (4.48) мы имеем

Этот спектр представлен на рис. 4.23 б. Аналогично нетрудно построить плотность спектрального распределения цепочки из чередующихся легких и тяжелых молекул [15]. Если возбуждены и продольные, и поперечные колебания цепочки, то к спектру (см. (4.49)) следует добавить спектр поперечных колебаний, определяемый из дисперсионного уравнения Плотность спектрального распределения частот полного спектра приведена на рис. 4.19 в (см. [15]).

Упомянем о прямой пространственно-временной аналогии. Рассмотрим распространение бегущей волны в одномерной среде — постоянная фазовая скорость волны в среде), на которую воздействует внешняя распределенная сила . Тогда очевидно, что

Это уравнение удобно переписать в интегральной форме (при

условии :

где С — текущая переменная интегрирования.

Полагая, что т.е. внешнее возмущение — волна постоянной амплитуды с частотой из, бегущая с фазовой скоростью и интегрируя (4.50), находим

При получаем секулярный рост вдоль координаты х:

В этом, в частности, и проявляется пространственно-временная аналогия — для нарастания гармонической волны в пространстве под действием внешнего поля необходимо совпадение их пространственных периодов, т.е. резонанс волновых чисел. В действительности здесь есть резонанс и частот, и волновых чисел, что выражается в равенстве фазовой скорости собственной волны в среде фазовой скорости внешней волны. Если различаются сильно, то в системе возникнут пространственные биения (длину волны биений легко определить). В случае, когда в среде может распространяться много волн, т.е. и внешнее воздействие тоже многоволновое, условий синхронизма будет т. е. будет равенств фазовой скорости собственной волны на чатоте фазовой скорости внешней волны на той же частоте. Осознание сформулированных нами условий синхронизма позволило в свое время создавать электронные СВЧ-приборы с длительным взаимодействием электронов и волны (наиболее известный из них — лампа с бегущей волной . Для этих приборов время пролета электронов через пространство взаимодействия много больше периода высокочастотных колебаний поля в отличие от резонансных СВЧ-приборов типа клистронов — приборов с кратковременным взаимодействием, о которых мы писали в гл. 1.

Рис. 4.24. Схема лампы бегущей волны: 1 — электронная пушка; 2 — электронный пучок; 3 — спираль; 4 — коллектор; 5 и 6 — входное и выходное устройства; Но — фокусирующее магнитное поле (а); дисперсионнные характеристики волны (сплошная линия) и пучка (штриховая линия) для модели и иллюстрация пространственного резонанса (в сечении поле есть суперпозиция полей, создаваемых каждым элементом возмущенного пучка, расположенным при поля складываются в фазе, если

Если считать, что — продольная составляющая электрического поля Е волны в волноведущей системе, — волна переменного тока I в электронном пучке (с точностью до размерного постоянного коэффициента), то уравнение для есть уравнение возбуждения волновода заданным током [10, 11]:

где К имеет размерность сопротивления и называется сопротивлением связи. Если прямолинейный электронный пучок с малой плотностью тока представить как поток невзаимодействующих частиц, движущихся со скоростью то высокочастотные возмущения имеют вид волны тока с фазовой скоростью Таким образом, простейшее условие синхронизма — это равенство конвективной скорости электронов фазовой скорости волны. Кстати, из этого условия следует необходимость при нерелятивистских скоростях электронов замедлять электромагнитную волну (в большинстве ЛБВ используются спиральные замедляющие системы; рис. 4.24). В случае, когда кулоновы силы в пучке существенны, возмущения в нем распространяются

в виде волн пространственного заряда, скорости которых не равны Для пространственного резонанса в этом случае необходимо, чтобы был синхронизм между одной из волн пространственного заряда и волной в замедляющей системе. Следует заметить, что в своих рассуждениях мы рассматривали лишь влияние внешней волны на собственную. В большинстве случаев это не так: при условии синхронизма есть и обратное влияние. В ЛБВ, например, поле волноведущей системы модулирует пучок по скорости и группирует электроны в сгустки. Такое взаимодействие имеет место в случае связанных волн, которые мы рассмотрим в гл. 10.