22.5. Пути возникновения странных аттракторов

В этом параграфе мы обсудим наиболее типичные пути возникновения странных аттракторов в системах с трехмерным фазовым пространством.

Многие из интересующих нас переходов описываются в рамках одномерных отображений. С их обсуждения мы и начнем, памятуя о том, что к одномерным отображениям вблизи границы возникновения стохастичности могут быть сведены и некоторые многомерные системы (см. гл. 23).

Последовательные удвоения периода. Вернемся к отображению (рис. 22.66) , где параметр лежит в интервале

К такому отображению сводятся многие трехмерные системы, в частности система, аттрактор которой имеет вид расширяющейся ленты, образующей складку, и затем замыкающейся на себя (рис. 22.16). Для координаты на секущей получается отображение, как на рис. 22.66.

При любом этого отображения имеется неподвижная точка а при — еще одна: . Эта точка устойчива вплоть до . При нетривиальная неподвижная точка становится неустойчивой: мультипликатор в этой точке переходит через значение —1 и возникает устойчивое периодическое движение периода 2. Этому соответствует появление двух действительных корней в уравнении Однократная неподвижная точка не исчезает, но она становится неустойчивой. Двукратный цикл устойчив в интервале изменения параметра Когда и 3,45 двукратный цикл теряет устойчивость и рождается устойчивый четырехкратный цикл. Дальнейшее увеличение приводит к тому, что он теряет устойчивость и возникает устойчивый цикл периода 23, затем периода Наконец, при и 3,57 устойчивых периодических движений не остается и происходит переход к стохастичности. В трехмерном фазовом пространстве этому соответствует появление странного аттрактора (рис. 22.16). Обратим внимание на то, что и при это отображение может иметь устойчивые периодические точки; например, при существует устойчивый трехкратный цикл [14].

Замечательной особенностью перехода к хаосу путем бесконечной цепочки бифуркаций удвоения является его свойство универсальности [15]. Оказалось, что интервал изменения параметра внутри которого существует цикл периода с ростом сужается по закону геометрической прогрессии

где — универсальная постоянная Фейгенбаума. Отсюда

Рис. 22.16. Возникновение странного аттрактора в трехмерной системе путем последовательности бифуркаций удвоения периода (исходное движение имеет период а — последовательность удвоений в фазовом пространстве (вверху) и на спектрограммах (внизу); б - странный аттрактор в виде складывающейся вдвое и замыкающейся на себе «ленты», который возникает вслед за потерей устойчивости движения с периодом То (в сечении «лента» имеет канторовскую структуру [33]

сразу следует, что, определив экспериментально границы нескольких первых удвоений, можно по формуле определить значение параметра когда появляется цикл бесконечного периода , вслед за которым и возникает стохастическое поведение. Универсальными при оказываются и свойства возникшего таким образом стохастического движения [16, 17].

Переход к стохастичности через бесконечную цепочку бифуркаций удвоения периодического движения является довольно типичным для диссипативных систем [18, 19]. Объясняется это тем, что многие диссипативные системы, в том числе и высокого порядка (с многомерным фазовым пространством), вблизи границы перехода описываются с достаточной степенью точности гладким не взаимно однозначным одномерным отображением (рис. 22.66). Природу этого явления мы обсудим в следующем параграфе. Здесь же приведем два примера, иллюстрирующие рассматриваемый путь перехода диссипативной системы к стохастическому поведению.

Эти примеры, описывающие резонансное взаимодействие осцилляторов, представляют и самостоятельный интерес для теории нелинейных волн.

Резонансное взаимодействие волн — наиболее характерное проявление нелинейных свойств разнообразных сред. Как мы знаем (см. гл. 20), возникающие при таком взаимодействии нелинейные явления (генерация гармоник и субгармоник, самомодуляция и самофокусировка волн, различного рода параметрические процессы) обнаруживаются в диспергирующих средах даже при весьма малой нелинейности, если выполнены условия синхронизма где — частоты, — волновые векторы взаимодействующих волн. Амплитуды этих волн являются медленно изменяющимися функциями пространственных координат и времени. Нелинейное взаимодействие квазигармонических волн, как мы уже говорили, играет большую роль в физике плазмы, гидродинамике, нелинейной оптике, физике конденсированного состояния и других областях. Если число элементарных возбуждений в среде очень велико, то, как правило, устанавливается нерегулярное поведение волнового поля.

При отсутствии источников и стоков энергии спектр таких волн отвечает равнораспределению энергии по степеням свободы (распределение Рэлея-Джинса) (см. гл. 20). Для самосогласованного описания реальной волновой турбулентности необходимо учесть диссипацию и подкачку энергии из источника (внешнего поля при нагреве плазмы, ветра для волн на воде и т. д.). При таком описании задача сводится к рассмотрению динамики ансамбля взаимодействующих осцилляторов — мод, часть из которых черпает энергию от источника, а часть передает ее термостату. Рассмотрим здесь простейшие модели такого типа, не предполагая предварительно, что фазы волн хаотизированы (ср. с § 20.4).

В средах с нелинейностью, квадратичной по полю, элементарным взаимодействием является взаимодействие трех волн (условие синхронизма — из см. (17.30)):

Здесь — комплексные амплитуды волн, которые предполагаются пространственно однородными (нормировка выбрана таким образом,

что коэффициенты взаимодействия равны линейные слагаемые, описывающие подкачку энергии и диссипацию, — расстройка.

Характер энергообмена между неустойчивой волной из и затухающей парой , т. е. когда существенно зависит от соотношения Численный анализ показывает [20], что хаотический обмен энергией между такими модами реализуется в достаточно широкой области параметров. Хаос возникает в результате возникновения цепочки последовательных бифуркаций удвоения периода. Наглядное исследование структуры получающегося странного аттрактора затруднительно, поскольку следующая из (22.17) в случае система дифференциальных уравнений имеет порядок, равный четырем. Более перспективным в этом отношении является анализ вырожденного случая Поскольку амплитуды одинаково затухающих низкочастотных волн при выравниваются (это нетрудно показать, воспользовавшись (22.17)), то система (22.17) может быть представлена в форме

Здесь соиф, При точном синхронизме все траектории в фазовом пространстве системы (22.18) при стремятся к плоскости или . Это следует из того, что функция удовлетворяет уравнению т. е. при . На плоскостях отсутствуют устойчивые состояния равновесия или предельные циклы, и все траектории по ним уходят в бесконечность. Стабилизация неустойчивой моды за счет передачи энергии равноправным низкочастотным модам в этом случае, следовательно, невозможна. Однако стабилизация возможна при ненулевой, хотя и очень малой расстройке. Поток энергии при этом в зависимости от параметров оказывается либо постоянным во времени (в фазовом пространстве — устойчивое состояние равновесия), либо периодическим (предельный цикл), либо случайным образом пульсирует (стохастический аттрактор).

Так, при поглощения на низкочастотных модах еще недостаточно для стабилизации неустойчивости. При стабилизация есть — устанавливается простой периодический режим

обмена энергией, затем — при начинается последовательность бифуркаций удвоения периода этого периодического движения (при появляется четырехкратный цикл, при восьмикратный и т. д.). При больших затуханиях реализуется хаотический режим [19].

Аналогичные бифуркации удвоения периода, приводящие к стохастическому поведению, обнаруживаются и в системе, описывающей процесс четырехволнового взаимодействия При этом стабилизация линейной неустойчивой моды осуществляется за счет передачи энергии затухающим сателлитам Если то такому режиму соответствуют стохастические модулированные колебания с несущей частотой

В заключение приведем результаты физического эксперимента с простой диссипативной системой (-контуром), в котором режим стохастических автоколебаний также возникал в результате последовательности удвоений [22]. Исследовались колебания в последовательном нелинейном ДХС-контуре, на который подводился периодический сигнал с частотой, равной собственной частоте контура в линейном приближении . В качестве нелинейного элемента использовался полупроводниковый диод, емкость которого зависела от напряжения по формуле . С ростом амплитуды внешнего воздействия в спектре колебаний появлялись последовательно субгармоники

Рис. 22.17. Спектры, иллюстрирующие бифуркации удвоения периода при переходе к стохастическому поведению в нелинейном осцилляторе, возбуждаемом периодической силой; А — амплитуда; — частота (от а к амплитуда внешней силы увеличивается)

соответствующие рождению устойчивых периодических движений с периодами . С ростом амплитуды внешней силы за критической точкой (точкой перехода) дискретные пики уширялись, а пьедестал поднимался. Спектр колебаний, наблюдаемых в области параметров, соответствующей развитому стохастическому движению, показан на рис. 22.18.

Жесткий режим возникновения стохастических автоколебаний. Один из механизмов возникновения странного аттрактора при непрерывном изменении параметра проиллюстрируем на конкретном примере — системе Лоренца. Э. Лоренц обнаружил «детерминированное непериодическое течение» [23] в простой диссипативной системе с трехмерным фазовым пространством. Эта система, пришедшая из гидродинамики, как сейчас выяснилось, имеет многочисленные иные приложения [7], и ее динамика подробно исследована с помощью качественных и численных методов.

Рис. 22.18. Спектр колебаний неавтономного нелинейного осциллятора в режиме стохастических колебаний

Система Лоренца получается, в частности, из уравнений Буссинеска, описывающих термоконвекцию в подогреваемом снизу горизонтальном слое, если ограничиться анализом лишь двумерных движений, а функцию тока и изменение температуры Т представить в виде (см. (21.4))

Такое представление означает учет трех связанных пространственных мод, из которых две при нарастают за счет конвективной неустойчивости, а третья затухает. Параметр — это характерный масштаб мод, которые раньше других теряют устойчивость при Решение (22.19) описывает конвекцию в виде валов или роликов, не меняющихся по третьей координате.

Ограничение неустойчивости в данном случае происходит за счет передачи энергии растущих мод в моду что соответствует изменению основного профиля температуры таким образом, что в

моды в среднем поступает как раз столько энергии, сколько тратится из-за вязкости и температуропроводности. Для амплитуд этих мод и получается система уравнений Лоренца

Здесь — число Прандля, — число Рэлея, нормированное на критическое, а (см. гл. 21). В первую колонку здесь объединены слагаемые, ответственные за линейное затухание мод, во вторую колонку — слагаемые, ответственные за их параметрическое возбуждение (слагаемые, пропорциональные X и входят с одинаковыми знаками в уравнения для X и Y соответственно), а в третью колонку входят слагаемые, ответственные за нелинейную перекачку энергии в затухающую моду Z. И вот такая, как казалось, простая система демонстрирует непериодическое поведение (на рис. 22.19 представлена одна из траекторий, принадлежащих аттрактору [24]).

Рис. 22.19. Траектория, воспроизводящая аттрактор Лоренца (выходит из начала координат). Здесь , а горизонтальная плоскость соответствует

Прежде всего обсудим простейшие особенности системы (22.20).

1) Эта система неустойчива на бесконечности, и в фазовом пространстве существует область, куда входят все траектории. Положив из (22.20) находим т. е. все траектории входят в шар радиуса

2) Фазовый объем системы (22.20) равномерно сжимается:

т. e. притягивающее множество имеет нулевой объем. 3) Система симметрична по отношению к замене

Проследим зависимость поведения системы от параметра (числа Рэлея). При единственным состоянием равновесия является устойчивый узел в начале координат . Когда начало координат становится седлом и из него рождаются два устойчивых состояния равновесия отвечающих стационарной конвекции в виде валов с противоположным направлением вращения жидкости. Эти нетривиальные состояния равновесия существуют при но устойчивы они только при

При в состояние равновесия попадают существовавшие в их окрестности неустойчивые циклы и передают им свою неустойчивость. При эти состояния равновесия превращаются в состояния типа седло-фокус: одномерная сепаратриса устойчива, а на двумерной расположены раскручивающиеся спирали. Таким образом, при внутри упоминавшейся области в фазовом пространстве системы (22.20) все состояния равновесия неустойчивы. Ответ на вопрос, к чему в этом случае будут притягиваться траектории, требует существенно нелокального рассмотрения и может быть получен в результате численного исследования [24, 25].

Изменение структуры разбиения фазового пространства системы (22.20) на траектории удобно пояснить с помощью рис. 22.20, где представлены взаимные расположения основных элементов — сепаратрис седла (0, 0, 0), состояний равновесия и предельных циклов. Эти результаты получены при и переменном

1. При , где система помимо тривиального имеет еще два состояния равновесия . Состояние равновесия является седлом, имеющим двумерное устойчивое многообразие и две неустойчивые одномерные сепаратрисы стремящиеся к состояниям равновесия (рис. 22.20 а).

Рис. 22.20. Иллюстрация последовательных бифуркаций в системе Лоренца при увеличении параметра

2. При каждая из сепаратрис становится двоякоасимптотической к седлу (рис. 22.206). При переходе через из замкнутых петель сепаратрис рождаются неустойчивые (седловые) периодические движения — предельные циклы Вместе с этими неустойчивыми циклами рождается и очень сложно организованное предельное множество; оно, однако, не является притягивающим (аттрактором), и при где и 24,06, все траектории по-прежнему стремятся к Ситуация на рис. 22.20 в отличается от предшествующей тем, что теперь сепаратрисы идут к «не своим» состояниям равновесия: соответственно. При сепаратрисы «наматываются» на седловые траектории (рис. 22.20 г).

3. При где в системе наряду с устойчивыми состояниями равновесия существует еще притягивающее множество, характеризующееся сложным поведением траекторий — аттрактор Лоренца (рис. 22.20 д).

4. При как уже говорилось, седловые циклы стягиваются к состояниям равновесия которые при теряют устойчивость, и при аттрактор Лоренца является единственным притягивающим множеством системы (22.20).

Таким образом, если устремить со стороны меньших значений, то стохастичность в системе Лоренца возникнет сразу, скачком, т. е. имеет место жесткое возникновение стохастических автоколебаний.

Переход через перемежаемость. В приложениях (см. гл. 23) встречается переход к стохастичности, который на осциллограмме выглядит как постепенное (при изменении параметра) исчезновение периодических колебании за счет прерывания их стохастическими всплесками — перемежаемости (рис. 22.21 а). Этот переход также можно описать с помощью не взаимно однозначного отображения отрезка в себя. Пусть имеется некоторое отображение (рис. 22.216). Его характерной особенностью является наличие наряду с растягивающими участками 1 и 2 участка 3. Пересечению этого участка отображения с биссектрисой соответствуют две неподвижные точки — устойчивая и неустойчивая.

Рис. 22.21. Переход к стохастичности через перемежаемость: а — осциллограмма стохастических колебаний, возникающих непосредственно после перехода к стохастичности; б — модельное одномерное отображение, соответствующее предтурбулентному режиму в — отображение при — отображение, соответствующее модели Лоренца при

Ввиду того, что в основной своей части отображение является растягивающим, переходные процессы в такой системе могут быть достаточно сложными. Однако при все траектории стремятся к единственному аттрактору — устойчивой неподвижной точке, которая соответствует устойчивому периодическому движению. Пусть теперь при изменении параметра участок 3 поднимается над биссектрисой. При этом устойчивая и неустойчивая неподвижные точки будут сближаться, затем сольются и исчезнут — устойчивое периодическое движение исчезает (рис. 22.21 в). Если деформированное таким образом отображение оказывается в среднем растягивающим, то новые (более высокой кратности) устойчивые периодические точки не возникнут, и система будет двигаться стохастически.

Непосредственно вслед за слиянием и исчезновением неподвижных точек (т. е. строго периодического движения) для системы будет характерен длительный переходный процесс, соответствующий прохождению траекториями области вблизи только что исчезнувшего периодического движения («ламинарная» фаза). После прохождения этой области система движется случайно («турбулентная» фаза) до тех пор, пока вновь не попадет в упомянутую область и т. д.

Отображение, представленное на рис. 22.21 г, соответствует обсуждавшейся нами системе Лоренца при достаточно больших числах Рэлея, Из вида этого отображения следует, что и в системе Лоренца также возможен переход к стохастичности через перемежаемость [26].

Таким образом, в приведенном примере переход к стохастическому поведению через перемежаемость связан со слиянием и последующим исчезновением устойчивой и неустойчивой периодических траекторий. Этот же переход реализуется и в многомерных системах. Соответствующая бифуркация, приводящая к возникновению сложного поведения, описана в [27].

Возникновение стохастичности за счет разрушения квазипериодических движений. В автоколебательных системах с несколькими степенями свободы вне полосы взаимной синхронизации наблюдаются биения. В спектре таких автоколебаний содержится несколько несоизмеримых частот (не более двух-трех), а в фазовом пространстве им соответствует притягивающая незамкнутая намотка тора (соответственно

двух- или трехмерного). Когда параметры системы попадают в область синхронизации, на торе появляется предельный цикл. Потеря устойчивости этим предельным циклом одним из рассмотренных выше способов тоже может привести к возникновению странного аттрактора. Добавим, что странный аттрактор может возникать, как показано в [28], и непосредственно вслед за разрушением трехмерного тора (см., например, [29]).

Здесь нет возможности углубляться в соответствующие математические расчеты. Описание же физических процессов, соответствующих разрушению торов, мы отложим до § 23.2, где обсуждаются механизмы возникновения турбулентности в гидродинамических течениях.