21.5. Конкуренция стационарных волн в активной среде

Решение задачи о бегущих волнах дает возможность исследовать и процесс взаимодействия волн. Естественно, что о взаимодействии имеет смысл говорить лишь в случаях, когда можно следить за эволюцией отдельных волн, участвующих в процессе, т. е. в тех случаях, когда трансформация отдельных воли происходит медленно по сравнению с пространственно-временными масштабами, характеризующими волны. Это возможно лишь при малой нелинейности среды, когда локальное поле представляется в виде суперпозиции отдельных волн. Малость нелинейности, конечно, не означает, что взаимодействующие волны должны быть синусоидальны. Как мы видели, форма стационарных волн зависит еще и от дисперсии: если дисперсия и нелинейность одного порядка, то волны существенно несинусоидальны, при исчезающе малой дисперсии они релаксационны: если же дисперсия сильная (по сравнению с нелинейностью), то волны квазисинусоидальны.

Рис. 21.6. Пространственная конкуренция волн в активной нелинейной среде с низкочастотной (или высокочастотной) вязкостью

Ввиду уже упоминавшейся пространственно-временной аналогии между взаимодействием нормальных колебаний во времени и стационарным взаимодействием волн в пространстве классические колебательные эффекты зачастую буквально переносятся на волновые процессы. Для примера на рис. 21.6 приведена иллюстрация пространственного аналога эффекта конкуренции колебаний в активной нелинейной среде с низкочастотной вязкостью (или высокочастотной). Этот процесс описывается уравнениями из гл. 16, в которых время t заменено на координату х. Основываясь на эффекте пространственной конкуренции, можно построить, в частности, любопытные волновые приборы, выделяющие из двух или нескольких неизвестных нам квазигармонических сигналов один с максимальной (или минимальной) частотой [1].

Именно эффектом конкуренции волн объясняется и кажущееся совершенно удивительным установление в пространственно-симметричном распределенном автогенераторе (например, с идеальным отражением на границах) несимметричных вдоль координаты х стационарных

Рис. 21.7. Несимметричный пространственно-неоднородный режим в резонаторе с идеальным отражением, заполненном нелинейной средой

распределений поля с преобладанием одной из встречных волн (рис. 21.7). Уравнение для амплитуд этих волн при простейших идеализациях [1] записывается в виде

с граничными условиями при , где — длина резонатора. Распределение интенсивностей в стационарном режиме легко восстановить по виду траектории на фазовой плоскости, построенных по уравнению (21.9) при (рис. 21.8). В коротком резонаторе, где эффект конкуренции проявиться не успевает, возможен только обычный режим стоячей волны — на фазовой плоскости рис. 21.8 ему соответствует состояние равновесия на прямой

Рис. 21.8. Фазовый портрет системы, описывающей стационарные волны в пространственно-симметричном распределенном автогенераторе с идеальным отражением на границе: траекториям 1-3 соответсвуют пространственнонеонородные устойчивые режимы

В длинном же резонаторе черпающие энергию из общего источника встречные волны подавляют одна другую в большей

части резонатора, выравниваясь лишь вблизи отражающих стенок. В результате режим стоячей волны оказывается неустойчивым и устанавливается один из пространственно-неоднородных режимов, которым на рис. 21.8 отвечают траектории типа 1-31.