8.2. Групповая скорость волн в некоторых сплошных средах

1. Для гравитационных волн на глубокой воде (см. гл. 5), т. е. но , следовательно,

Тогда из (8.16) видно, что для длинных волн и фазовая, и групповая скорости могут быть больше скорости света с в вакууме. Но ведь ни один сигнал не может распространяться со скоростью, большей с. (Мандельштам в работе [1] доказывает это утверждение, анализируя распространение сигнала в двух инерционных системах, движущихся друг относительно друга с постоянной скоростью ) В нашем примере парадокс объясняется просто: закон дисперсии и, следовательно, формула для выведены для несжимаемой жидкости. Предположение же о несжимаемости противоречит теории относительности.

2. Для капиллярных волн из (5.58) следует, что т. е. скорость распространения энергии капиллярных волн больше скорости гребней (для данной длины волны).

3. В гл. 5 мы уже отмечали, что в одномерном «холодном» потоке электронов ленгмюровские колебания переносятся электронами с дрейфовой скоростью Кроме того, было установлено, что в неподвижной «горячей» плазме волна переносит энергию со скоростью много меньшей тепловой. Рассмотрим теперь распространение поперечной плоской волны через ионосферу, состоящую из неподвижных свободных электронов.

При этом в отличие от гл. 5 проанализируем колебания в плазме с электродинамической точки зрения. Исходя из уравнений Максвелла и уравнения непрерывности в предположении, что все переменные изменяются по закону находим (см. [6])

Используя теперь уравнения движения заряженных частиц, вектор электрической индукции D можно выразить через вектор напряженности электрического поля где — тензор диэлектрической проницаемости среды. Подставив это выражение для D в (8.17), получим систему линейных однородных уравнений, поскольку — матрица. Условие совместности этой системы уравнений приводит к дисперсионному уравнению (см. [6])

— символ Кронекера.

В случае изотропной плазмы без магнитного поля и для продольной волны из (8.17) находим, что

а для поперечной волны

Выразим из уравнения движения электронов Тогда Поэтому для плотности тока имеем По определению Таким образом,

Приравнивая правые части соотношений (8.20) и (8.21), получаем

Итак, в ионосфере т. е. всегда больше

Последнее соотношение не является столь общим, как часто считают. В частности, для различных линий передачи, используемых в технике и электронике связь между Уф и имеет вид (см. [10]):

где — волновое число в среде; — фазовая постоянная в линии передачи; — относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды; верхний знак соответствует (быстрые волны при нижний соответствует (медленные волны; Из (8.23) следует, что только если . В частности, для металлического волновода без потерь с однородным диэлектрическим заполнением, т. е. Для замедляющих систем типичны значения , меньшие скорости света в среде.

4. Обратимся к внутренним волнам в стратифицированной жидкости (см. гл. 5). Пусть среда безгранична и частота Вяйсяля Тогда справедливо уравнение (5.62): Предположим для определенности, что волна распространяется в сторону положительных Воспользуемся для определения групповой скорости уравнением (5.62) или, что тоже самое, (5.61): считая, что скорость где — соответствующие единичные

векторы [3]. После выполнения дифференцирования и простых преобразований, получаем (см. [7])

Нетрудно видеть из (8.24), что направлен перпендикулярно к (рис. 8.5). При имеем так что при для давления находим . Следовательно, вектор направлен по к. Для внутренних волн из (5.30) и (5.31) следует, что . С учетом (5.19) и этих соотношений для скорости частиц получим

Но из (8.25) сразу имеем, что , т. е. частицы движутся по траекториям, перпендикулярным к в плоскости, где лежат вектор к и ось

Рис. 8.5. К определению групповой скорости внутренних волн в стратифицированной жидкости [7]: а — волна бежит вверх, поток энергии направлен вниз волна бежит вниз, поток энергии направлен вверх

Используя выражения для давления и скорости частиц из (8.25), для средней по времени плотности потока энергии легко получаем соотношение

Аналогично для средней плотности энергии находим

Из (8.26) следует, что поток энергии направлен по вектору групповой скорости (рис. 8.5), а скорость распространения энергии в среде в точности равна групповой скорости.

Рис. 8.6. К отражению волны от наклонного дна [7]

Докажите сами, что если дно наклонное, то выполняется следующий закон отражения волн: угол падения равен углу отражения, но по отношению не к нормали, а к вертикали поверхности дна (рис. 8.6). Для того чтобы отраженная волна компенсировала перпендикулярную границе составляющую скорости частиц в падающей волне, необходимо выполнение равенства

когда кпад и нормаль к границе лежат в плоскости рис. 8.6 (докажите это!). Отсюда следует любопытный вывод: при отражении меняется длина волны. Противоречия здесь нет: при данной частоте длина волны может быть любой (см. гл. 5).

Для волн Россби из уравнения (5.83) легко показать, что при фазовая и групповая скорости волны направлены в разные стороны. В общем случае, когда ,

и для групповой скорости получаем

направлено от конца вектора к центру круга (5.83), — угол между и осью

Приведенные примеры показывают, что для сред с анизотропной дисперсией, т. е. для сред с дисперсионным соотношением

вектор групповой скорости ведет себя довольно нестандартно. Кажется ясным, что с точки зрения кинематики волн понятие групповой скорости можно обобщить на многомерные системы. Не вдаваясь в детали работ [3], [8], выпишем основные соотношения. Пусть в модулированной волне вектор х имеет координаты Определим

где — компоненты волнового вектора. Дисперсионное соотношение имеет вид или

Дифференцируя (8.29) по с учетом определений (8.28), получаем трехмерный аналог (8.11) в следующей форме:

где — компоненты вектора групповой скорости. Если то компоненты волнового вектора постоянны, а движение с постоянной скоростью имеет место вдоль прямой . В работе [3] доказано, что для синусоидальных волн групповая скорость совпадает в любых однородных анизотропных системах со скоростью распространения энергии (для внутренних волн мы это видели).

Более сложным является случай распространения волн в неоднородной нестационарной диспергирующей среде, когда . В этих случаях групповая скорость выступает как так называемая лучевая скорость. Мы не касаемся этого и более сложных вопросов, отсылая читателя к работам [3, 8, 11].