4.3. Предельный переход от упорядоченных структур к одномерной сплошной среде. Временная и пространственная дисперсия. Физическая природа дисперсии

Вернемся к цепочке одинаковых маятников, связанных между собой пружинами (см. рис. 4.8). Предположим, что характерный пространственный период волнового движения в дискретной цепочке много больше расстояния между маятниками, т. е. много больше размера ячеек. Тогда возможны следующие замены:

Переходя от дискретной координаты к непрерывной и используя введенные выше замены в уравнении (4.21), получим уравнение в частных производных

где . Это линеаризованное уравнение Клейна-Гордона, впервые появившееся в теории поля.

Обсудим подробнее смысл допущений, сделанных при выводе (4.27). Во-первых, функция была определена в дискретных точках оси х, мы же заменили ее непрерывной. Во-вторых, мы разложили функцию в ряд и отбросили высшие члены разложения (в этом неточность уравнения (4.27)). Кроме того, проделывая эти операции, мы не определили точно, по сравнению с чем а мало. Когда же справедливы сделанные допущения? Получим дисперсионное уравнение для (4.27). Подставляя в уравнение (4.27), имеем

или

Легко видеть, что (4.29) получается из (4.23), если т. е. при Итак, когда мы говорим о малости а по сравнению с характерным пространственным периодом волнового движения, мы говорим о малости , следовательно, о малости а по сравнению с длиной волны, поскольку или а . Для достаточно длинных волн наши допущения справедливы, и цепочку маятников можно рассматривать как среду, описываемую уравнением Клейна-Гордона. Однако все приближения нарушаются, когда А и а, т. е. длина волны в структуре соизмерима с ее периодом. Таким образом, преобразования дисперсионных уравнений § 4.1 для цепочек из одинаковых частиц при условии означают переход от упорядоченных структур к одномерной сплошной среде.

Если в уравнении (4.27) устремить к нулю, то мы получим обычное волновое уравнение

дисперсионное уравнение которого имеет вид

Для анализируемой модели фазовая скорость волны откуда

Это уравнение совпадает с (4.13) для цепочки из одинаковых равноудаленных частиц при . Физически это ясно, так как при для маятника необходимо, чтобы это значит, что длина маятника становится такой большой, что уже не влияет на его колебание, а это и есть цепочка шариков, соединенных пружинками (но

Рис. 4.12. Дисперсионные кривые для сред с линейной дисперсией (а) и с дисперсией, описываемой уравнением (4.29) (б)

Если в дисперсионном уравнении между и к зависимость линейная, т. е. справедливо (4.30), то говорят, что в данном случае среда без дисперсии. В этом случае фазовая скорость, определяемая как будет постоянной и не зависящей от частоты (рис. 4.12 а). В частности, при цепочка атомов-шариков в одномерной решетке ведет себя как упругая струна, описываемая волновым уравнением. В этом случае речь идет о распространении упругих волн в сплошной среде со скоростью равной скорости звука (отсюда название «акустическая» ветвь для нижней кривой рис. 4.5). Из уравнения (4.29) при немного больших следует, что дисперсионная кривая имеет вид параболы:

т. е. вблизи его дисперсия проявляется. В то же время интересно, что при достаточно больших дисперсии не будет (линейная зависимость Попытаемся систематизировать полученные нами результаты, чтобы понять, с чем связано существование дисперсии в среде.

Вернемся к уравнению Клейна-Гордона, которое описывает распространение одномерных волн в среде с дисперсией, в частности в цепочке маятников с собственными частотами расположенных на расстояниях (дисперсионная кривая — сплошная кривая на рис. 4.12 б). Мы уже говорили, что при дисперсия исчезает: длина нитей маятников так велика, что у них нет собственного периода колебаний, цепочка превращается в данном случае в упругую струну. Дисперсия исчезла, когда исчез собственный временной масштаб, характеризующий среду. Когда каждый маятник имеет собственный период из маятников не будет воспринимать частоту меньше собственной. На этой критической частоте все маятники будут колебаться синфазно: волн нет, существуют только колебания. Если теперь обратиться к уравнениям (4.21) и (4.23), в которых соотношение между а и А может быть любым, то нетрудно видеть, что дисперсия в системе сохраняется даже при Действительно, в этом случае мы приходим к цепочке из шариков, связанных пружинками. В этой среде дисперсия существенна, пока а не мало по сравнению с А. Таким образом, в «решетке» из шариков дисперсия определяется собственным пространственным масштабом — периодом «решетки». С этим же связана дисперсия в «решетке» из равноудаленных частиц разной массы (см. (4.16)). Что касается цепочки из связанных маятников, когда и расстояние а сравнимо с А, то дисперсия определяется и временным, и пространственным масштабами. Аналогично характеризуется дисперсия и для цепочки из магнитных стрелок, где наряду с периодом а фигурирует частота связанная с существованием внешнего магнитного поля (см. (4.26)). Таким образом, можно сказать, что существование дисперсии в среде связано с наличием в ней собственных, независимых от параметров волны пространственных или временных масштабов.

Если в среде нет никаких характерных пространственных или временных масштабов (как, например, при распространении звука в воде или электромагнитных волн в вакууме), т. е. нет характерных частот или периодов, то распространяющаяся несинусоидальная волна искажаться не будет. Дисперсия в этом случае отсутствует.

Если, например, в воду «напустить» пузырьков, т. е. ввести некий пространственный масштаб а — расстояние между пузырьками или размер пузырьков, то для волны с искажений при распространении не будет, если же , то волна искажается, в системе есть дисперсия. В кристалле, скажем, волна низкой частоты (длина волны много больше расстояния между ионами) распространяется без

искажений, а для высоких частот уже имеет значение расстояние между ионами — дискретность «среды» (см. рис. 4.2, 4.3 и 4.5).

Дисперсия, связанная с наличием в среде временных масштабов, обычно называется временной, а с наличием пространственных масштабов — пространственной. Заметим, что такая классификация удобна лишь в электродинамике, где можно говорить отдельно об уравнениях среды и поля. На формальном языке уравнений дисперсия — это нелокальная зависимость между различными физическими переменными во времени или пространстве. Так, в электродинамике сплошных сред пространственная дисперсия связана с тем, что электрическая индукция D в данной точке пространства определяется значением напряженности Е электрического поля не только в этой точке, но и в некоторой ее окрестности, т. е. D и Е связаны нелокально в пространстве:

где — тензор комплексной диэлектрической проницаемости [5].

Формально можно ввести следующие определения: в электродинамике сплошных сред среда имеет пространственную дисперсию, если ее диэлектрическая проницаемость зависит от волнового вектора; если же проницаемость зависит от частоты, то мы имеем дело с частотной или временной дисперсией.

Последняя связана также с нелокальностью связи D и Е во времени, причем временная дисперсия обычно велика, поскольку собственные частоты среды попадают в рассматриваемый интервал частот [5]. Пространственную дисперсию следует принимать во внимание, например, в физике изотропной плазмы, когда длина волны соизмерима с радиусом Дебая, в теории проводящих сред при учете соударений, когда длина свободного пробега порядка длины волны.

В кристаллооптике пространственная дисперсия приводит к качественно новым эффектам, таким, как естественная оптическая активность (гиротропия), оптическая анизотропия кубических кристаллов [5, 6]. Укажем еще, что в плазме, например, групповая скорость продольных волн становится отличной от нуля также из-за пространственной дисперсии (мы вернемся к этому вопросу в следующей главе).

Следует также подчеркнуть, что, хотя пространственная дисперсия — результат существования собственного пространственного масштаба в среде, т. е. результат дискретности «среды», ее учет можно провести и в рамках модели сплошной среды, если феноменологически

найти соотношения между физическими переменными, учитывающие нелокальность их связи в пространстве. Таким образом, чтобы учесть пространственную дисперсию, нужно правильно построить модель среды.

Рис. 4.13. Длинная линия с индуктивной связью М между ячейками и соответствующая дисперсионная характеристика

Рассмотрим в качестве примера распространение электромагнитной волны в длинной линии, изображенной на рис. 4.13 (см. задачу 4.23 в [3]).

Если связь между ячейками отсутствует, то справедливы телеграфные уравнения

которые легко преобразуются в волновое уравнение

так что в анализируемой модели цепочки дисперсии нет. Однако при наличии индуктивной связи между ячейками зависимость между магнитным потоком Ф и током I выражается материальным уравнением из которого следует нелокальная связь между этими величинами (наличие пространственной производной от тока). Тогда

Соответствующее дисперсионное уравнение имеет вид

где (Обратите внимание, что к в формуле (4.33) — безразмерная величина, так как в цепочке мы все считаем

не на единицу длины, а на ячейку; величины и С измеряются соответственно в генри и фарадах на ячейку; чтобы перейти к размерной величине, надо умножить к на размер ячейки а в соответствующих единицах длины). Если то, сохраняя члены первого порядка малости по а, из (4.33) получаем

Обратимся теперь к уравнению (4.12) для одномерной решетки из одинаковых частиц. Положим малым и разложим в ряд, ограничиваясь членами порядка тогда

Так как в (4.34) k — величина безразмерная, то обозначая через k и полагая приходим от (4.35) к (4.34). Таким образом, оба подхода — и дискретный, и феноменологический учет нелокальности связи между физическими величинами — приводят к правильному описанию пространственной дисперсии («загиб» дисперсионных кривых на рис. 4.2 и 4.13 связан с пространственной дисперсией). Пространственная дисперсия проявляется и вблизи частоты (см. рис. 4.12) и (4.32)). В уравнении (4.33) знак а может быть любым. Тогда если то при фазовая скорость волны и групповая скорость (скорость переноса энергии в среде без потерь) (Позднее мы подробнее остановимся на понятиях фазовой и групповой скоростей.) Следовательно, информация от одной точки к другой передается мгновенно. Подумайте, с какими идеализациями модели связан возникший парадокс.