5.4. Гравитационные волны в несжимаемой жидкости. Внутренние волны. Волны Россби

Заметим сразу, что в предположении несжимаемости уравнения (5.32), (5.33) могут быть упрощены и приведены к виду

Исключив приходим к уравнению

Для анализа гравитационных волн на поверхности жидкости, как мы сейчас убедимся, не существенны ни стратификация жидкости, ни вращение Земли, т. е. в (5.38) можно отбросить слагаемые, содержащие див, и мы придем к уравнению

с граничными условиями (5.27), (5.28), которые при сделанных предположениях записываются в виде

Здесь учтено, что (см. (5.37)).

Справедливость используемых приближений мы покажем с помощью соображений размерности. Рассмотрим поверхностные волны, предполагая, что в состоянии равновесия поверхность жидкости горизонтальная. Если ее вывести из этого состояния, то для возникновения волн на поверхности жидкости необходимо существование возвращающей в положение равновесия силы и силы инерции, из-за которой жидкость «проскакивает» положение равновесия. Какая сила может заставить появившийся на поверхности жидкости «горб» исчезнуть, чтобы поверхность опять стала горизонтальной? Такой силой может быть, например, сила тяжести или сила поверхностного натяжения — коэффициент поверхностного натяжения). Обсудим действие этих сил отдельно.

Падая вниз под действием силы тяжести, «горб» по инерции провалится ниже положения равновесия; рядом с ним будет вытеснен другой «горб» и т. д. В жидкости начнет распространяться волна, которая и называется гравитационной. Анализ размерности позволяет найти характер зависимости фазовой скорости волны от ее длины . Величина должна зависеть от от инерции колеблющейся жидкости, мерой

которой является ее плотность и может зависеть от глубины жидкости Н. Таким образом, . Сразу видно из соображений размерности, что плотность не будет входить в окончательную формулу, поскольку только в входит размерность массы. Физически это связано с тем, что и вес «горба», возвращающий его к положению равновесия, и масса «горба» — его инерционность — пропорциональны Размерности Ли Н одинаковы, размерность времени содержится только в Поэтому для скорости распространения волны можно написать две равноправные формулы:

Пусть в этом случае говорят о волнах на глубокой воде или о коротких волнах, которые движутся лишь в поверхностном слое жидкости (толщина слоя порядка ). Тогда, очевидно, скорость распространения волны не должна зависеть от глубины жидкости, т. е. , следовательно,

Очевидно, если считать, что скорость равна и не зависит от , мы сразу придем к формуле (5.42).

Когда же (волны в мелкой воде или длинные волны), скорость распространения волны не должна зависеть от Л, поскольку движение всех частиц в тонком слое жидкости практически одинаково. В этом случае в и

Поскольку из (5.42) и (5.43) получаем следующие законы дисперсии для гравитационных волн в двух предельных случаях:

Проведенный анализ не строг. Мы не можем найти в его рамках Для их определения воспользуемся уравнениями (5.39) и (5.40). Если решение уравнения подставить в граничные условия (5.40), то из условия совместности получившейся алгебраической системы уравнений с неизвестными находим

дисперсионное уравнение для поверхностных волн в жидкости конечной глубины:

Легко видеть, что

Таким образом, в случае, когда, например, в (5.44) и Из формул (5.42)-(5.44) при следует, что при (мелкая жидкость) фазовая скорость стремится к постоянному пределу — дисперсия слабая. На глубокой воде дисперсия всегда есть она связана с нелокальной зависимостью между давлением и глубиной жидкости. Гравитационные волны обладают отрицательной дисперсией, поскольку уменьшается с ростом частоты. Групповая скорость тоже уменьшается с ростом частоты, поэтому, скажем, в море или океане к берегу из области возникновения приходят сначала длинные волны, а уже потом короткие. Этот факт можно использовать для определения расстояния до шторма (читателю, по-видимому, доставит удовольствие придумать способ обнаружения штормов и оценить максимальную дальность обнаружения; см. гл. 4).

Заметим, что при анализе гравитационных волн мы исходили из достаточно общих уравнений. Если ограничить себя с самого начала анализом гравитационных волн на поверхности идеальной несжимаемой жидкости то можно исходить из уравнений

Полагая далее, что движение потенциальное можно ввести потенциал скорости Воспользуемся формулой векторного анализа Тогда для несжимаемой жидкости , следовательно,

Поскольку есть сила, действующая в поле тяжести на единицу массы, можно ввести где — потенциальная энергия единицы массы жидкости в поле тяжести. Тогда

откуда легко можно получить так называемый интеграл Коши-Лагранжа [7]:

где — некоторая функция времени. В стационарном потоке жидкости когда движение установившееся и скорость не зависит от времени, этот интеграл переходит в уравнение Бернулли

причем для потенциального движения константа в (5.50) одинакова во всей жидкости. Если характеризует завихренность и определяет угловую скорость элементарного объема жидкости), то (5.50) справедливо вдоль данной линии тока (постоянная может быть разной вдоль разных линий тока).

Очевидно, что (5.50) выражает закон сохранения энергии. В этом состоит смысл уравнения Бернулли, связывающего скорость с давлением, поскольку известна. Мы воспользуемся (5.50) в гл. 7, чтобы объяснить известную неустойчивость Гельмгольца, не решая уравнений гидродинамики.

Обратимся теперь к очень коротким волнам, когда жидкость стремится вернуться в положение равновесия под действием силы поверхностного натяжения. Такие волны называются капиллярными. Для этих волн разумно предположить, что Размерность скорости будет иметь единственная комбинация из этих величин, а именно

Закон дисперсии, соответствующий (5.51), имеет вид

Теперь решим задачу более строго, исходя из интеграла Коши-Лагранжа и уравнения

которое получено из условия несжимаемости и определения Когда поверхность раздела, скажем, между воздухом и жидкостью искривлена, то разность давлений по разные стороны от нее (но вблизи поверхности раздела) можно определить по формуле Лапласа [1, 6]:

Эта разность называется поверхностным давлением; — радиус кривизны поверхности, причем если — уравнение кривой, соответствующей границе раздела, а поверхность изогнута слабо. В нашем случае формула Лапласа имеет вид

где — давление вблизи поверхности жидкости, — внешнее давление. На рис. 5.1 кривизна поверхности отрицательна, что учтено знаком в (5.54). В линейном приближении интеграл Коши-Лагранжа имеет вид

поскольку слагаемым в этом приближении можно пренебречь, силу тяжести мы не учитываем, чтобы рассмотреть только капиллярные волны, можно, не нарушая общности, считать равной нулю [1]. Используя (5.54), для из (5.55) будем иметь

Будем искать решение системы (5.53) в виде Тогда Но если жидкость достаточно глубокая, то поскольку под поверхностью (плоскость совладает с невозмущенной горизонтальной поверхностью жидкости). Продифференцируем (5.56) по и учтем,

что Будем иметь

Поскольку из (5.57) получаем следующее уравнение для капиллярных волн:

Таким образом, в (5.52) равно Если одновременно учесть действие на жидкость обеих возвращающих сил — и силы тяжести, и силы поверхностного натяжения, — то в предположении, что для жидкости, глубина которой равна Н, мы получим дисперсионное уравнение

Рис. 5.1. К определению силы поверхностного натяжения для поверхности с отрицательной кривизной

Это уравнение дает закон дисперсии для гравитационно-капиллярных волн (предоставляем читателям самим получить (5.59)).

Для капиллярных волн т. е. фазовая скорость растет с ростом что соответствует положительной дисперсии. На рис. 5.2 приведены зависимости и от к для поверхностных волн; кривые соответствуют (5.59).

В свое время, после открытия деления урана, теория капиллярных волн была с успехом применена к исследованию устойчивости атомного ядра по отношению к его делению на две приблизительно одинаковые по размерам части. Созданная теория основывалась на том, что между частицами в ядре действуют близкодействующие силы, которые похожи на силы поверхностного натяжения в жидкости (между молекулами тоже действуют силы близкодействия). Такому «поверхностному натяжению» в ядре противостоят дальнодействующие силы — силы кулоновского расталкивания протонов. Для частоты колебаний сферического ядра получается формула, подобная (5.59) при только первое слагаемое в правой части имеет электрическое, а не гравитационное происхождение, и перед ним стоит знак минус (кулонова сила направлена по внешней нормали к поверхности). Из этого соотношения

Рис. 5.2. Зависимости и от для поверхностных волн: а — длинные гравитационные волны короткие гравитационные волны в — капиллярные волны

можно было найти условия неустойчивости ядра при бесконечно малых искажениях его поверхности.

Постройте сами теорию дробления заряженных дождевых капель, считая каплю сферической, а жидкость несжимаемой (колебания следует разлагать на стоячие сферические волны по полиномам Лежандра) [8].

Простейший пример внутренних волн в стратифицированной жидкости — волны, распространяющиеся вдоль поверхности раздела двух однородных жидкостей разной плотности. Распространение волн обусловлено балансом между силами плавучести и полной силой инерции жидкости. Более сложный случай — волны в жидкости с непрерывной стратификацией. В стратифицированной жидкости любое смещение произвольного участка жидкости по высоте нарушает равновесие, и возникают колебания. Как уже говорилось, плотность морской воды зависит не только от давления, но от температуры и от относительного содержания растворенных солей, которые меняются с глубиной.

Предположим сначала, что и вращением Земли можно пренебречь. При этом уравнение (5.38) значительно упрощается:

Если среда безгранична и то и

или

где — угол между вектором к и вертикалью, Из (5.62) следует, что волны могут существовать только при Если угол в задан, то частота определяется однозначно, в то время как длина волны и фазовая скорость могут быть произвольными.

Заметим, что в несжимаемой жидкости условие соответствует экспоненциальной зависимости плотности от глубины.

Рассмотрим распространение внутренних волн в волноводе, образованном поверхностью жидкости и горизонтальным дном. В этом случае решение уравнения (5.60) при сохранении предположения о постоянстве частоты Вяйсяля имеет вид

Подставляя (5.63) в граничные условия (5.40), получим следующую систему уравнений:

Из условия совместности системы (5.64) — равенства нулю ее определителя — находим диоперсионное уравнение

При можно считать, что , следовательно, когда одно из решений (5.65) запишется так:

С учетом второго соотношения (5.63) из (5.66) имеем что совпадает с (5.49) при

Рис. 5.3. Закон дисперсии для внутренних волн в многомодовом волноводе

Очевидно, что найденная в этих приближениях волна — это поверхностная волна в мелкой воде, которая распространяется со скоростью т. е. стратификация жидкости не влияет на характер этой волны.

Мы уже говорили, что при в несжимаемой жидкости плотность зависит от глубины по закону

Здесь Поскольку (типичные значения N для океана колеблются в пределах от 0 до ), величина при имеет порядок величины которая много больше единицы. Переписывая (5.65) в виде

1, находим, что корни дисперсионного уравнения достаточно близки к

или с учетом второго соотношения из (5.63)

Полученный для внутренних волн закон дисперсии — это типичный закон дисперсии для многомодового волновода (рис. 5.3).

Когда зависит от возможны и более сложные законы дисперсии [24]. Как отмечается в [3], решения уравнения (5.60) с граничными условиями (5.40) при описывают волны, одна из которых близка к поверхностной, поскольку максимум достигается при , кроме того, набор внутренних волн, у которых максимумы расположены внутри интервалов

Остановимся кратко на гироскопических (инерционных) волнах, закон дисперсии для которых можно получить из уравнений (5.32) и (5.33) для однородной несжимаемой жидкости. Эти волны характерны для океана — они связаны с вращением Земли.

Для решений вида после простых, но громоздких преобразований получаем (см. [3])

где в — угол между и к; значение выбирается из условия Из (5.69) следует, что, поскольку для данной частоты угол в вполне

определенный, длина волны может быть любой, как и для внутренних волн.

Если то возникают так называемые гравитационно-гироскопические волны, закон дисперсии для которых, как показано в [3], имеет вид — угол между к и положительным направлением оси

Волноводная задача для инерционных волн на мелкой воде в пренебрежении членом (это можно сделать, если т.е. если масштаб изменения величин в направлении много меньше длины волны в у-направлении) приводит к дисперсионному уравнению Когда получаем длинные гравитационные волны Таким образом, вращение Земли приводит к появлению дисперсии у длинных гравитационных волн.

Волны Россби могут быть исследованы в рамках тех же общих уравнений но в приближении, когда (приближение -плоскости; см. [22], с. 35). Прежде чем обсудить свойства этих волн, заметим, что они весьма важные при изучении синоптических океанических вихрей [3, 4]. Эти вихри подобны циклонам и антициклонам в атмосфере (отсюда термин «синоптические»). Понимание их динамики в связи с процессами взаимодействия океана и атмосферы очень важно для построения корректной математической модели циркуляции атмосферы, а следовательно, обеспечения верного, хотя и сравнительно краткосрочного, предсказания погоды.

Линейные модели распространения волн Россби оказываются полезными описании среднего дрейфа синоптических вихрей [4].

Традиционным приближением для получения волн Россби является допущение о том, что Оно и позволяет отбросить в уравнениях члены, содержащие горизонтальную составляющую вектора т.е. слагаемые, содержащие Главным условием существования этих волн является изменение вертикальной составляющей с широтой т.е. изменение с широтой горизонтальной составляющей силы Кориолиса. Для того чтобы учесть это, разложим в ряд по степеням в точке и ограничимся двумя членами разложения. Очевидно, что где — радиус Земли. Окончательно получаем

Учет члена в выражении (5.70) называют учетом -эффекта. Предполагая еще, что с с учетом сделанных допущений перепишем систему уравнений (5.20)-(5.23) следующим образом:

Мы уже говорили, что в такой системе уравнений возможно разделение переменных (см. § 5.2). В последнем уравнении правая часть может зависеть только от х, а левая — от Вводя параметр разделения и приравнивая ему обе части последнего уравнения системы, получим окончательно

Продифференцируем первое уравнение в (5.72) по у, второе по и вычтем одно из другого, учитывая, что Используя в получившемся уравнении третье из (5.72), находим

Дифференцируя третье уравнение из (5.72) по у и используя второе уравнение, будем иметь

Выражение для легко найти, взяв производную по у от (5.74). Подставив получившееся соотношение для в (5.75) и используя первое уравнение из (5.72), удается исключить из системы

Уравнение для имеет вид

Предположим, что т.е. Если решение уравнения (5.76) имеет вид плоских волн то дисперсионное уравнение получается таким:

Параметр разделения находится как собственное значение системы уравнений (5.73) с граничными условиями (5.27) и (5.28); эти уравнения и условия легко переписать в виде

Если положить то (5.78) совпадает с уравнением (5.60) для внутренних волн, а (5.79) - с граничным условием (5.40). Из соответствующих соотношений для волноводных волн (из второго соотношения (5.63) и (5.66), а также (5.67)) имеем для моды которая называется «баротропной»:

для мод более высоких порядков называемых «бароклинными»,

Проанализируем подробнее дисперсионное уравнение (5.77). Для того чтобы были вещественными, необходима положительность правой части (5.77), т. е. должно выполняться условие которое с учетом определения (5.71) удобно переписать как

Если задана широта места то волны Россби существуют для частот где критическая частота определяется формулой частности, для «баротропной» моды из (5.80) следует, что . Когда далеки от критических значений, в дисперсионном уравнении (5.77) можно пренебречь последним слагаемым. Предполагается, что . В этом случае закон дисперсии волн Россби имеет вид

Из этого уравнения видно, что оно удовлетворяется лишь при (как и уравнение Это означает, что волны Россби распространяются только с востока на запад. Последнее подтверждается наблюдениями над синоптическими вихрями там, где средние течения океана слабые [4].